ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc2 GIF version

Theorem prmuloc2 7565
Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 7564 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio ๐ต, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ฟ   ๐‘ฅ,๐‘ˆ

Proof of Theorem prmuloc2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuloc 7564 . 2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)))
2 nfv 1528 . . 3 โ„ฒ๐‘ฅ(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต)
3 nfre1 2520 . . 3 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ
4 simpr1 1003 . . . . . . . 8 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ)
5 simpr3 1005 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))
6 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
7 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ 1Q) = ๐‘ฆ)
8 breq1 4006 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ ยทQ 1Q) = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†” ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)))
96, 7, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†” ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)))
105, 9mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))
11 simplll 533 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P)
12 simpr2 1004 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
13 prcunqu 7483 . . . . . . . . . 10 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
1510, 14mpd 13 . . . . . . . 8 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
16 rspe 2526 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
1817ex 115 . . . . . 6 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
1918anassrs 400 . . . . 5 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
2019rexlimdva 2594 . . . 4 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
2120ex 115 . . 3 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)))
222, 3, 21rexlimd 2591 . 2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
231, 22mpd 13 1 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  Qcnq 7278  1Qc1q 7279   ยทQ cmq 7281   <Q cltq 7283  Pcnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7631  recexprlem1ssu  7632
  Copyright terms: Public domain W3C validator