ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc2 GIF version

Theorem prmuloc2 7568
Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 7567 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio ๐ต, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ฟ   ๐‘ฅ,๐‘ˆ

Proof of Theorem prmuloc2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuloc 7567 . 2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)))
2 nfv 1528 . . 3 โ„ฒ๐‘ฅ(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต)
3 nfre1 2520 . . 3 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ
4 simpr1 1003 . . . . . . . 8 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ)
5 simpr3 1005 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))
6 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
7 mulidnq 7390 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ 1Q) = ๐‘ฆ)
8 breq1 4008 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ ยทQ 1Q) = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†” ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)))
96, 7, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†” ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)))
105, 9mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))
11 simplll 533 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P)
12 simpr2 1004 . . . . . . . . . 10 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
13 prcunqu 7486 . . . . . . . . . 10 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
1510, 14mpd 13 . . . . . . . 8 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
16 rspe 2526 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
1817ex 115 . . . . . 6 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
1918anassrs 400 . . . . 5 ((((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
2019rexlimdva 2594 . . . 4 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
2120ex 115 . . 3 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)))
222, 3, 21rexlimd 2591 . 2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง (๐‘ฆ ยทQ 1Q) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ))
231, 22mpd 13 1 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ (๐‘ฅ ยทQ ๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  Qcnq 7281  1Qc1q 7282   ยทQ cmq 7284   <Q cltq 7286  Pcnp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467
This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7634  recexprlem1ssu  7635
  Copyright terms: Public domain W3C validator