Theorem prnminu 7145

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7138	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )
2		elinp 7130	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
3		simpr1r 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
5		eleq1 2157	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. U <-> B e. U ) )
6		breq2 3871	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( x <Q y <-> x <Q B ) )
7	6	anbi1d 454	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( x <Q y /\ x e. U ) <-> ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
8	7	rexbidv 2392	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
9	5, 8	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) <-> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
10	9	rspcv 2732	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) -> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
11		bi1 117	. . . . . . 7 |- ( ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
13	12	impd 252	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) )
15		df-rex 2376	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
16	14, 15	sylib 121	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
17		ltrelnq 7021	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4519	. . . . . . . 8 |- ( x <Q B -> ( x e. Q. /\ B e. Q. ) )
19	18	simpld 111	. . . . . . 7 |- ( x <Q B -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 385	. . . . . 6 |- ( x <Q B <-> ( x e. Q. /\ x <Q B ) )
21	20	anbi1i 447	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) )
22		ancom 263	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( x e. U /\ x <Q B ) )
23		anass 394	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 209	. . . 4 |- ( ( x e. U /\ x <Q B ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
25	24	exbii 1548	. . 3 |- ( E. x ( x e. U /\ x <Q B ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
26	16, 25	sylibr 133	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
27		df-rex 2376	. 2 |- ( E. x e. U x <Q B <-> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
28	26, 27	sylibr 133	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 667   /\ w3a 927   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   C_ wss 3013   <.cop 3469   class class class wbr 3867   Q.cnq 6936   <Q cltq 6941   P.cnp 6947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122

This theorem is referenced by:  genprndu  7178  nqpru  7208  1idpru  7247  ltsopr  7252  ltexprlemopu  7259  ltexprlemru  7268  addcanprlemu  7271  recexprlemloc  7287  recexprlem1ssu  7290  aptiprlemu  7296