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Theorem prnminu 7145
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Distinct variable groups:    x, B    x, L    x, U

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 7138 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  B  e.  Q. )
2 elinp 7130 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U ) )  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  y  e.  L )
)  /\  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  (
x  e.  L  /\  x  e.  U )  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  ->  (
x  e.  L  \/  y  e.  U )
) ) ) )
3 simpr1r 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
)  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  y  e.  L ) )  /\  A. y  e.  Q.  (
y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U
) ) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  ( x  e.  L  /\  x  e.  U
)  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( x  <Q  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )
42, 3sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) ) )
5 eleq1 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  U  <->  B  e.  U ) )
6 breq2 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
x  <Q  y  <->  x  <Q  B ) )
76anbi1d 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  <Q  y  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
87rexbidv 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
95, 8bibi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  <->  ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) ) )
109rspcv 2732 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  -> 
( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) ) )
11 bi1 117 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) ) )
1312impd 252 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
141, 13mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )
15 df-rex 2376 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
1614, 15sylib 121 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
17 ltrelnq 7021 . . . . . . . . 9  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1817brel 4519 . . . . . . . 8  |-  ( x 
<Q  B  ->  ( x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1918simpld 111 . . . . . . 7  |-  ( x 
<Q  B  ->  x  e. 
Q. )
2019pm4.71ri 385 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  B  <->  ( x  e. 
Q.  /\  x  <Q  B ) )
2120anbi1i 447 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
) )
22 ancom 263 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
23 anass 394 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2421, 22, 233bitr3i 209 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  ( x  e.  Q.  /\  ( x 
<Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2524exbii 1548 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2616, 25sylibr 133 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
27 df-rex 2376 . 2  |-  ( E. x  e.  U  x 
<Q  B  <->  E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
2826, 27sylibr 133 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 667    /\ w3a 927    = wceq 1296   E.wex 1433    e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371    C_ wss 3013   <.cop 3469   class class class wbr 3867   Q.cnq 6936    <Q cltq 6941   P.cnp 6947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122
This theorem is referenced by:  genprndu  7178  nqpru  7208  1idpru  7247  ltsopr  7252  ltexprlemopu  7259  ltexprlemru  7268  addcanprlemu  7271  recexprlemloc  7287  recexprlem1ssu  7290  aptiprlemu  7296
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