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Theorem prnminu 7304
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Distinct variable groups:    x, B    x, L    x, U

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 7297 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  B  e.  Q. )
2 elinp 7289 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U ) )  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  y  e.  L )
)  /\  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  (
x  e.  L  /\  x  e.  U )  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  ->  (
x  e.  L  \/  y  e.  U )
) ) ) )
3 simpr1r 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
)  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  y  e.  L ) )  /\  A. y  e.  Q.  (
y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U
) ) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  ( x  e.  L  /\  x  e.  U
)  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( x  <Q  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )
42, 3sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) ) )
5 eleq1 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  U  <->  B  e.  U ) )
6 breq2 3933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
x  <Q  y  <->  x  <Q  B ) )
76anbi1d 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  <Q  y  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
87rexbidv 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
95, 8bibi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  <->  ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) ) )
109rspcv 2785 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  -> 
( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) ) )
11 bi1 117 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) ) )
1312impd 252 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
141, 13mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )
15 df-rex 2422 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
1614, 15sylib 121 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
17 ltrelnq 7180 . . . . . . . . 9  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1817brel 4591 . . . . . . . 8  |-  ( x 
<Q  B  ->  ( x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1918simpld 111 . . . . . . 7  |-  ( x 
<Q  B  ->  x  e. 
Q. )
2019pm4.71ri 389 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  B  <->  ( x  e. 
Q.  /\  x  <Q  B ) )
2120anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
) )
22 ancom 264 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
23 anass 398 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2421, 22, 233bitr3i 209 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  ( x  e.  Q.  /\  ( x 
<Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2524exbii 1584 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2616, 25sylibr 133 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
27 df-rex 2422 . 2  |-  ( E. x  e.  U  x 
<Q  B  <->  E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
2826, 27sylibr 133 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Q.cnq 7095    <Q cltq 7100   P.cnp 7106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-qs 6435  df-ni 7119  df-nqqs 7163  df-ltnqqs 7168  df-inp 7281
This theorem is referenced by:  genprndu  7337  nqpru  7367  1idpru  7406  ltsopr  7411  ltexprlemopu  7418  ltexprlemru  7427  addcanprlemu  7430  recexprlemloc  7446  recexprlem1ssu  7449  aptiprlemu  7455
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