Theorem prnminu 7451

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7444	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )
2		elinp 7436	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
3		simpr1r 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
5		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. U <-> B e. U ) )
6		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( x <Q y <-> x <Q B ) )
7	6	anbi1d 462	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( x <Q y /\ x e. U ) <-> ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
8	7	rexbidv 2471	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
9	5, 8	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) <-> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
10	9	rspcv 2830	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) -> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
11		biimp 117	. . . . . . 7 |- ( ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
13	12	impd 252	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) )
15		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
16	14, 15	sylib 121	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
17		ltrelnq 7327	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4663	. . . . . . . 8 |- ( x <Q B -> ( x e. Q. /\ B e. Q. ) )
19	18	simpld 111	. . . . . . 7 |- ( x <Q B -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 390	. . . . . 6 |- ( x <Q B <-> ( x e. Q. /\ x <Q B ) )
21	20	anbi1i 455	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) )
22		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( x e. U /\ x <Q B ) )
23		anass 399	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 209	. . . 4 |- ( ( x e. U /\ x <Q B ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
25	24	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x ( x e. U /\ x <Q B ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
26	16, 25	sylibr 133	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
27		df-rex 2454	. 2 |- ( E. x e. U x <Q B <-> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
28	26, 27	sylibr 133	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Q.cnq 7242   <Q cltq 7247   P.cnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  genprndu  7484  nqpru  7514  1idpru  7553  ltsopr  7558  ltexprlemopu  7565  ltexprlemru  7574  addcanprlemu  7577  recexprlemloc  7593  recexprlem1ssu  7596  aptiprlemu  7602