Theorem prnminu 7709

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7702	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )
2		elinp 7694	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
3		simpr1r 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
5		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. U <-> B e. U ) )
6		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( x <Q y <-> x <Q B ) )
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( x <Q y /\ x e. U ) <-> ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
8	7	rexbidv 2533	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) <-> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
10	9	rspcv 2906	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) -> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
11		biimp 118	. . . . . . 7 |- ( ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
13	12	impd 254	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) )
15		df-rex 2516	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
17		ltrelnq 7585	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4778	. . . . . . . 8 |- ( x <Q B -> ( x e. Q. /\ B e. Q. ) )
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( x <Q B -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( x <Q B <-> ( x e. Q. /\ x <Q B ) )
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) )
22		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( x e. U /\ x <Q B ) )
23		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( ( x e. U /\ x <Q B ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
25	24	exbii 1653	. . 3 |- ( E. x ( x e. U /\ x <Q B ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
26	16, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
27		df-rex 2516	. 2 |- ( E. x e. U x <Q B <-> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   <.cop 3672   class class class wbr 4088   Q.cnq 7500   <Q cltq 7505   P.cnp 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6708  df-ni 7524  df-nqqs 7568  df-ltnqqs 7573  df-inp 7686

This theorem is referenced by:  genprndu  7742  nqpru  7772  1idpru  7811  ltsopr  7816  ltexprlemopu  7823  ltexprlemru  7832  addcanprlemu  7835  recexprlemloc  7851  recexprlem1ssu  7854  aptiprlemu  7860