Theorem prnminu 7856

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7849	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )
2		elinp 7841	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
3		simpr1r 1086	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
5		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. U <-> B e. U ) )
6		breq2 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( x <Q y <-> x <Q B ) )
7	6	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( x <Q y /\ x e. U ) <-> ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
8	7	rexbidv 2551	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) <-> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
10	9	rspcv 2925	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) -> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
11		biimp 118	. . . . . . 7 |- ( ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
13	12	impd 254	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) )
15		df-rex 2534	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
17		ltrelnq 7732	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4827	. . . . . . . 8 |- ( x <Q B -> ( x e. Q. /\ B e. Q. ) )
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( x <Q B -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 396	. . . . . 6 |- ( x <Q B <-> ( x e. Q. /\ x <Q B ) )
21	20	anbi1i 462	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) )
22		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( x e. U /\ x <Q B ) )
23		anass 405	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( ( x e. U /\ x <Q B ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
25	24	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x ( x e. U /\ x <Q B ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
26	16, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
27		df-rex 2534	. 2 |- ( E. x e. U x <Q B <-> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   <.cop 3712   class class class wbr 4130   Q.cnq 7647   <Q cltq 7652   P.cnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7671  df-nqqs 7715  df-ltnqqs 7720  df-inp 7833

This theorem is used by:  genprndu  7889  nqpru  7919  1idpru  7958  ltsopr  7963  ltexprlemopu  7970  ltexprlemru  7979  addcanprlemu  7982  recexprlemloc  7998  recexprlem1ssu  8001  aptiprlemu  8007