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Theorem prnminu 6992
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Distinct variable groups:    x, B    x, L    x, U

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 6985 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  B  e.  Q. )
2 elinp 6977 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U ) )  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  y  e.  L )
)  /\  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  (
x  e.  L  /\  x  e.  U )  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  ->  (
x  e.  L  \/  y  e.  U )
) ) ) )
3 simpr1r 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
)  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  y  e.  L ) )  /\  A. y  e.  Q.  (
y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U
) ) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  ( x  e.  L  /\  x  e.  U
)  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( x  <Q  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )
42, 3sylbi 119 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) ) )
5 eleq1 2147 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  U  <->  B  e.  U ) )
6 breq2 3824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
x  <Q  y  <->  x  <Q  B ) )
76anbi1d 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  <Q  y  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
87rexbidv 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
95, 8bibi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  <->  ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) ) )
109rspcv 2711 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  -> 
( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) ) )
11 bi1 116 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) ) )
1312impd 251 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
141, 13mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )
15 df-rex 2361 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
1614, 15sylib 120 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
17 ltrelnq 6868 . . . . . . . . 9  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1817brel 4458 . . . . . . . 8  |-  ( x 
<Q  B  ->  ( x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1918simpld 110 . . . . . . 7  |-  ( x 
<Q  B  ->  x  e. 
Q. )
2019pm4.71ri 384 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  B  <->  ( x  e. 
Q.  /\  x  <Q  B ) )
2120anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
) )
22 ancom 262 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
23 anass 393 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2421, 22, 233bitr3i 208 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  ( x  e.  Q.  /\  ( x 
<Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2524exbii 1539 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2616, 25sylibr 132 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
27 df-rex 2361 . 2  |-  ( E. x  e.  U  x 
<Q  B  <->  E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
2826, 27sylibr 132 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 922    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356    C_ wss 2988   <.cop 3434   class class class wbr 3820   Q.cnq 6783    <Q cltq 6788   P.cnp 6794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-qs 6250  df-ni 6807  df-nqqs 6851  df-ltnqqs 6856  df-inp 6969
This theorem is referenced by:  genprndu  7025  nqpru  7055  1idpru  7094  ltsopr  7099  ltexprlemopu  7106  ltexprlemru  7115  addcanprlemu  7118  recexprlemloc  7134  recexprlem1ssu  7137  aptiprlemu  7143
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