Theorem prnminu 7637

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7630	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )
2		elinp 7622	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
3		simpr1r 1058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) )
5		eleq1 2270	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. U <-> B e. U ) )
6		breq2 4063	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( x <Q y <-> x <Q B ) )
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( x <Q y /\ x e. U ) <-> ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
8	7	rexbidv 2509	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) <-> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
10	9	rspcv 2880	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) -> ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
11		biimp 118	. . . . . . 7 |- ( ( B e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. U -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) ) )
13	12	impd 254	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) )
15		df-rex 2492	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x <Q B /\ x e. U ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
17		ltrelnq 7513	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4745	. . . . . . . 8 |- ( x <Q B -> ( x e. Q. /\ B e. Q. ) )
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( x <Q B -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( x <Q B <-> ( x e. Q. /\ x <Q B ) )
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) )
22		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( x <Q B /\ x e. U ) <-> ( x e. U /\ x <Q B ) )
23		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ x <Q B ) /\ x e. U ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( ( x e. U /\ x <Q B ) <-> ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
25	24	exbii 1629	. . 3 |- ( E. x ( x e. U /\ x <Q B ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( x <Q B /\ x e. U ) ) )
26	16, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
27		df-rex 2492	. 2 |- ( E. x e. U x <Q B <-> E. x ( x e. U /\ x <Q B ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> E. x e. U x <Q B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3174   <.cop 3646   class class class wbr 4059   Q.cnq 7428   <Q cltq 7433   P.cnp 7439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-qs 6649  df-ni 7452  df-nqqs 7496  df-ltnqqs 7501  df-inp 7614

This theorem is referenced by:  genprndu  7670  nqpru  7700  1idpru  7739  ltsopr  7744  ltexprlemopu  7751  ltexprlemru  7760  addcanprlemu  7763  recexprlemloc  7779  recexprlem1ssu  7782  aptiprlemu  7788