Theorem prnmaxl 7238

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7231	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
2		elinp 7224	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) )
3		simpr1l 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
5		eleq1 2175	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. L <-> B e. L ) )
6		breq1 3896	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y <Q x <-> B <Q x ) )
7	6	anbi1d 458	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y <Q x /\ x e. L ) <-> ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
8	7	rexbidv 2410	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
9	5, 8	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) <-> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
10	9	rspcv 2754	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
11		bi1 117	. . . . . . 7 |- ( ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
13	12	impd 252	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) )
15		df-rex 2394	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
16	14, 15	sylib 121	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
17		ltrelnq 7115	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4549	. . . . . . . 8 |- ( B <Q x -> ( B e. Q. /\ x e. Q. ) )
19	18	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( B <Q x -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 387	. . . . . 6 |- ( B <Q x <-> ( x e. Q. /\ B <Q x ) )
21	20	anbi1i 451	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) )
22		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( x e. L /\ B <Q x ) )
23		anass 396	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 209	. . . 4 |- ( ( x e. L /\ B <Q x ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
25	24	exbii 1565	. . 3 |- ( E. x ( x e. L /\ B <Q x ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
26	16, 25	sylibr 133	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
27		df-rex 2394	. 2 |- ( E. x e. L B <Q x <-> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
28	26, 27	sylibr 133	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   /\ w3a 943   = wceq 1312   E.wex 1449   e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389   C_ wss 3035   <.cop 3494   class class class wbr 3893   Q.cnq 7030   <Q cltq 7035   P.cnp 7041

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-qs 6387  df-ni 7054  df-nqqs 7098  df-ltnqqs 7103  df-inp 7216

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7240  genprndl  7271  nqprl  7301  1idprl  7340  ltsopr  7346  ltexprlemm  7350  ltexprlemopl  7351  recexprlemloc  7381  recexprlem1ssl  7383  aptiprleml  7389  caucvgprprlemopl  7447