Theorem prnmaxl 7462

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7455	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
2		elinp 7448	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) )
3		simpr1l 1054	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
5		eleq1 2238	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. L <-> B e. L ) )
6		breq1 4001	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y <Q x <-> B <Q x ) )
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y <Q x /\ x e. L ) <-> ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
8	7	rexbidv 2476	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) <-> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
10	9	rspcv 2835	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
11		biimp 118	. . . . . . 7 |- ( ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
13	12	impd 254	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) )
15		df-rex 2459	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
17		ltrelnq 7339	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4672	. . . . . . . 8 |- ( B <Q x -> ( B e. Q. /\ x e. Q. ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( B <Q x -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( B <Q x <-> ( x e. Q. /\ B <Q x ) )
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) )
22		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( x e. L /\ B <Q x ) )
23		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( ( x e. L /\ B <Q x ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
25	24	exbii 1603	. . 3 |- ( E. x ( x e. L /\ B <Q x ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
26	16, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
27		df-rex 2459	. 2 |- ( E. x e. L B <Q x <-> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   C_ wss 3127   <.cop 3592   class class class wbr 3998   Q.cnq 7254   <Q cltq 7259   P.cnp 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-qs 6531  df-ni 7278  df-nqqs 7322  df-ltnqqs 7327  df-inp 7440

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7464  genprndl  7495  nqprl  7525  1idprl  7564  ltsopr  7570  ltexprlemm  7574  ltexprlemopl  7575  recexprlemloc  7605  recexprlem1ssl  7607  aptiprleml  7613  caucvgprprlemopl  7671  suplocexprlemrl  7691