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Theorem prnmaxl 7026
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  L  B  <Q  x )
Distinct variable groups:    x, B    x, L    x, U

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 7019 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  B  e.  Q. )
2 elinp 7012 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. y  e.  Q.  y  e.  L  /\  E. x  e.  Q.  x  e.  U ) )  /\  ( ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
) )  /\  A. x  e.  Q.  (
x  e.  U  <->  E. y  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  y  e.  U
) ) )  /\  A. y  e.  Q.  -.  ( y  e.  L  /\  y  e.  U
)  /\  A. y  e.  Q.  A. x  e. 
Q.  ( y  <Q  x  ->  ( y  e.  L  \/  x  e.  U ) ) ) ) )
3 simpr1l 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. y  e.  Q.  y  e.  L  /\  E. x  e.  Q.  x  e.  U )
)  /\  ( ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  /\  A. x  e.  Q.  (
x  e.  U  <->  E. y  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  y  e.  U
) ) )  /\  A. y  e.  Q.  -.  ( y  e.  L  /\  y  e.  U
)  /\  A. y  e.  Q.  A. x  e. 
Q.  ( y  <Q  x  ->  ( y  e.  L  \/  x  e.  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
42, 3sylbi 119 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
5 eleq1 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  L  <->  B  e.  L ) )
6 breq1 3840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  <Q  x  <->  B  <Q  x ) )
76anbi1d 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  <Q  x  /\  x  e.  L
)  <->  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
87rexbidv 2381 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
)  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )
) )
95, 8bibi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  <->  ( B  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )
) ) )
109rspcv 2718 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  -> 
( B  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) ) )
11 bi1 116 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) )  ->  ( B  e.  L  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( B  e.  L  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) ) )
1312impd 251 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
141, 13mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) )
15 df-rex 2365 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
1614, 15sylib 120 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
17 ltrelnq 6903 . . . . . . . . 9  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1817brel 4478 . . . . . . . 8  |-  ( B 
<Q  x  ->  ( B  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
1918simprd 112 . . . . . . 7  |-  ( B 
<Q  x  ->  x  e. 
Q. )
2019pm4.71ri 384 . . . . . 6  |-  ( B 
<Q  x  <->  ( x  e. 
Q.  /\  B  <Q  x ) )
2120anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )  <->  ( ( x  e.  Q.  /\  B  <Q  x )  /\  x  e.  L
) )
22 ancom 262 . . . . 5  |-  ( ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )  <->  ( x  e.  L  /\  B  <Q  x ) )
23 anass 393 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  B  <Q  x )  /\  x  e.  L
)  <->  ( x  e. 
Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
2421, 22, 233bitr3i 208 . . . 4  |-  ( ( x  e.  L  /\  B  <Q  x )  <->  ( x  e.  Q.  /\  ( B 
<Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
2524exbii 1541 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  L  /\  B  <Q  x )  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
2616, 25sylibr 132 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x
( x  e.  L  /\  B  <Q  x ) )
27 df-rex 2365 . 2  |-  ( E. x  e.  L  B  <Q  x  <->  E. x ( x  e.  L  /\  B  <Q  x ) )
2826, 27sylibr 132 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  L  B  <Q  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837   Q.cnq 6818    <Q cltq 6823   P.cnp 6829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-qs 6278  df-ni 6842  df-nqqs 6886  df-ltnqqs 6891  df-inp 7004
This theorem is referenced by:  prnmaddl  7028  genprndl  7059  nqprl  7089  1idprl  7128  ltsopr  7134  ltexprlemm  7138  ltexprlemopl  7139  recexprlemloc  7169  recexprlem1ssl  7171  aptiprleml  7177  caucvgprprlemopl  7235
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