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Theorem prnmaxl 7264
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  L  B  <Q  x )
Distinct variable groups:    x, B    x, L    x, U

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 7257 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  B  e.  Q. )
2 elinp 7250 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. y  e.  Q.  y  e.  L  /\  E. x  e.  Q.  x  e.  U ) )  /\  ( ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
) )  /\  A. x  e.  Q.  (
x  e.  U  <->  E. y  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  y  e.  U
) ) )  /\  A. y  e.  Q.  -.  ( y  e.  L  /\  y  e.  U
)  /\  A. y  e.  Q.  A. x  e. 
Q.  ( y  <Q  x  ->  ( y  e.  L  \/  x  e.  U ) ) ) ) )
3 simpr1l 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. y  e.  Q.  y  e.  L  /\  E. x  e.  Q.  x  e.  U )
)  /\  ( ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  /\  A. x  e.  Q.  (
x  e.  U  <->  E. y  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  y  e.  U
) ) )  /\  A. y  e.  Q.  -.  ( y  e.  L  /\  y  e.  U
)  /\  A. y  e.  Q.  A. x  e. 
Q.  ( y  <Q  x  ->  ( y  e.  L  \/  x  e.  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
42, 3sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
5 eleq1 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  L  <->  B  e.  L ) )
6 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  <Q  x  <->  B  <Q  x ) )
76anbi1d 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  <Q  x  /\  x  e.  L
)  <->  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
87rexbidv 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
)  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )
) )
95, 8bibi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  <->  ( B  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )
) ) )
109rspcv 2759 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  -> 
( B  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) ) )
11 bi1 117 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) )  ->  ( B  e.  L  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( B  e.  L  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) ) )
1312impd 252 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
141, 13mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) )
15 df-rex 2399 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
1614, 15sylib 121 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L
) ) )
17 ltrelnq 7141 . . . . . . . . 9  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1817brel 4561 . . . . . . . 8  |-  ( B 
<Q  x  ->  ( B  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
1918simprd 113 . . . . . . 7  |-  ( B 
<Q  x  ->  x  e. 
Q. )
2019pm4.71ri 389 . . . . . 6  |-  ( B 
<Q  x  <->  ( x  e. 
Q.  /\  B  <Q  x ) )
2120anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )  <->  ( ( x  e.  Q.  /\  B  <Q  x )  /\  x  e.  L
) )
22 ancom 264 . . . . 5  |-  ( ( B  <Q  x  /\  x  e.  L )  <->  ( x  e.  L  /\  B  <Q  x ) )
23 anass 398 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  B  <Q  x )  /\  x  e.  L
)  <->  ( x  e. 
Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
2421, 22, 233bitr3i 209 . . . 4  |-  ( ( x  e.  L  /\  B  <Q  x )  <->  ( x  e.  Q.  /\  ( B 
<Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
2524exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  L  /\  B  <Q  x )  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  ( B  <Q  x  /\  x  e.  L ) ) )
2616, 25sylibr 133 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x
( x  e.  L  /\  B  <Q  x ) )
27 df-rex 2399 . 2  |-  ( E. x  e.  L  B  <Q  x  <->  E. x ( x  e.  L  /\  B  <Q  x ) )
2826, 27sylibr 133 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  E. x  e.  L  B  <Q  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394    C_ wss 3041   <.cop 3500   class class class wbr 3899   Q.cnq 7056    <Q cltq 7061   P.cnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-qs 6403  df-ni 7080  df-nqqs 7124  df-ltnqqs 7129  df-inp 7242
This theorem is referenced by:  prnmaddl  7266  genprndl  7297  nqprl  7327  1idprl  7366  ltsopr  7372  ltexprlemm  7376  ltexprlemopl  7377  recexprlemloc  7407  recexprlem1ssl  7409  aptiprleml  7415  caucvgprprlemopl  7473  suplocexprlemrl  7493
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