Theorem prnmaxl 7548

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7541	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
2		elinp 7534	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) )
3		simpr1l 1056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
5		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. L <-> B e. L ) )
6		breq1 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y <Q x <-> B <Q x ) )
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y <Q x /\ x e. L ) <-> ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
8	7	rexbidv 2495	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) <-> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
10	9	rspcv 2860	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
11		biimp 118	. . . . . . 7 |- ( ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
13	12	impd 254	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) )
15		df-rex 2478	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
17		ltrelnq 7425	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4711	. . . . . . . 8 |- ( B <Q x -> ( B e. Q. /\ x e. Q. ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( B <Q x -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( B <Q x <-> ( x e. Q. /\ B <Q x ) )
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) )
22		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( x e. L /\ B <Q x ) )
23		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( ( x e. L /\ B <Q x ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
25	24	exbii 1616	. . 3 |- ( E. x ( x e. L /\ B <Q x ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
26	16, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
27		df-rex 2478	. 2 |- ( E. x e. L B <Q x <-> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   <.cop 3621   class class class wbr 4029   Q.cnq 7340   <Q cltq 7345   P.cnp 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-qs 6593  df-ni 7364  df-nqqs 7408  df-ltnqqs 7413  df-inp 7526

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7550  genprndl  7581  nqprl  7611  1idprl  7650  ltsopr  7656  ltexprlemm  7660  ltexprlemopl  7661  recexprlemloc  7691  recexprlem1ssl  7693  aptiprleml  7699  caucvgprprlemopl  7757  suplocexprlemrl  7777