Theorem prnmaxl 7671

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7664	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
2		elinp 7657	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) )
3		simpr1l 1078	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
5		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. L <-> B e. L ) )
6		breq1 4085	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y <Q x <-> B <Q x ) )
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y <Q x /\ x e. L ) <-> ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
8	7	rexbidv 2531	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) <-> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
10	9	rspcv 2903	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
11		biimp 118	. . . . . . 7 |- ( ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
13	12	impd 254	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) )
15		df-rex 2514	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
17		ltrelnq 7548	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4770	. . . . . . . 8 |- ( B <Q x -> ( B e. Q. /\ x e. Q. ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( B <Q x -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( B <Q x <-> ( x e. Q. /\ B <Q x ) )
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) )
22		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( x e. L /\ B <Q x ) )
23		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( ( x e. L /\ B <Q x ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
25	24	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x ( x e. L /\ B <Q x ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
26	16, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
27		df-rex 2514	. 2 |- ( E. x e. L B <Q x <-> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4082   Q.cnq 7463   <Q cltq 7468   P.cnp 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-qs 6684  df-ni 7487  df-nqqs 7531  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7673  genprndl  7704  nqprl  7734  1idprl  7773  ltsopr  7779  ltexprlemm  7783  ltexprlemopl  7784  recexprlemloc  7814  recexprlem1ssl  7816  aptiprleml  7822  caucvgprprlemopl  7880  suplocexprlemrl  7900