Theorem prnminu 7672

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7665	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7657	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1r 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
5		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
6		breq2 4086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
8	7	rexbidv 2531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
10	9	rspcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
15		df-rex 2514	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
17		ltrelnq 7548	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
23		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
25	24	exbii 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27		df-rex 2514	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  Qcnq 7463   <_Q cltq 7468  Pcnp 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-qs 6684  df-ni 7487  df-nqqs 7531  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649

This theorem is referenced by:  genprndu  7705  nqpru  7735  1idpru  7774  ltsopr  7779  ltexprlemopu  7786  ltexprlemru  7795  addcanprlemu  7798  recexprlemloc  7814  recexprlem1ssu  7817  aptiprlemu  7823