Theorem prnminu 7752

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7745	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7737	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1r 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
5		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
6		breq2 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
8	7	rexbidv 2534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
10	9	rspcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
15		df-rex 2517	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
17		ltrelnq 7628	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
23		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
25	24	exbii 1654	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27		df-rex 2517	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ⊆ wss 3201  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  Qcnq 7543   <_Q cltq 7548  Pcnp 7554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-qs 6751  df-ni 7567  df-nqqs 7611  df-ltnqqs 7616  df-inp 7729

This theorem is referenced by:  genprndu  7785  nqpru  7815  1idpru  7854  ltsopr  7859  ltexprlemopu  7866  ltexprlemru  7875  addcanprlemu  7878  recexprlemloc  7894  recexprlem1ssu  7897  aptiprlemu  7903