ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnminu GIF version

Theorem prnminu 6969
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 6962 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → 𝐵Q)
2 elinp 6954 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))))
3 simpr1r 999 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)))
42, 3sylbi 119 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)))
5 eleq1 2147 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑈𝐵𝑈))
6 breq2 3818 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 <Q 𝐵))
76anbi1d 453 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
87rexbidv 2377 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈) ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
95, 8bibi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)) ↔ (𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
109rspcv 2710 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)) → (𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
11 bi1 116 . . . . . . 7 ((𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)) → (𝐵𝑈 → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝑈 → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
1312impd 251 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))
15 df-rex 2361 . . . 4 (∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
1614, 15sylib 120 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
17 ltrelnq 6845 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4451 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥Q𝐵Q))
1918simpld 110 . . . . . . 7 (𝑥 <Q 𝐵𝑥Q)
2019pm4.71ri 384 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥Q𝑥 <Q 𝐵))
2120anbi1i 446 . . . . 5 ((𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ ((𝑥Q𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥𝑈))
22 ancom 262 . . . . 5 ((𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
23 anass 393 . . . . 5 (((𝑥Q𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥𝑈) ↔ (𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2421, 22, 233bitr3i 208 . . . 4 ((𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2524exbii 1539 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2616, 25sylibr 132 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
27 df-rex 2361 . 2 (∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
2826, 27sylibr 132 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  wss 2986  cop 3428   class class class wbr 3814  Qcnq 6760   <Q cltq 6765  Pcnp 6771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-qs 6231  df-ni 6784  df-nqqs 6828  df-ltnqqs 6833  df-inp 6946
This theorem is referenced by:  genprndu  7002  nqpru  7032  1idpru  7071  ltsopr  7076  ltexprlemopu  7083  ltexprlemru  7092  addcanprlemu  7095  recexprlemloc  7111  recexprlem1ssu  7114  aptiprlemu  7120
  Copyright terms: Public domain W3C validator