ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnminu GIF version

Theorem prnminu 7320
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 7313 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → 𝐵Q)
2 elinp 7305 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))))
3 simpr1r 1040 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)))
42, 3sylbi 120 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)))
5 eleq1 2203 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑈𝐵𝑈))
6 breq2 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 <Q 𝐵))
76anbi1d 461 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
87rexbidv 2439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈) ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
95, 8bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)) ↔ (𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
109rspcv 2788 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)) → (𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
11 bi1 117 . . . . . . 7 ((𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)) → (𝐵𝑈 → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝑈 → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
1312impd 252 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))
15 df-rex 2423 . . . 4 (∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
1614, 15sylib 121 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
17 ltrelnq 7196 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4598 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥Q𝐵Q))
1918simpld 111 . . . . . . 7 (𝑥 <Q 𝐵𝑥Q)
2019pm4.71ri 390 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥Q𝑥 <Q 𝐵))
2120anbi1i 454 . . . . 5 ((𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ ((𝑥Q𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥𝑈))
22 ancom 264 . . . . 5 ((𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
23 anass 399 . . . . 5 (((𝑥Q𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥𝑈) ↔ (𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2421, 22, 233bitr3i 209 . . . 4 ((𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2524exbii 1585 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2616, 25sylibr 133 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
27 df-rex 2423 . 2 (∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
2826, 27sylibr 133 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 963   = wceq 1332  wex 1469  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  wss 3075  cop 3534   class class class wbr 3936  Qcnq 7111   <Q cltq 7116  Pcnp 7122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-qs 6442  df-ni 7135  df-nqqs 7179  df-ltnqqs 7184  df-inp 7297
This theorem is referenced by:  genprndu  7353  nqpru  7383  1idpru  7422  ltsopr  7427  ltexprlemopu  7434  ltexprlemru  7443  addcanprlemu  7446  recexprlemloc  7462  recexprlem1ssu  7465  aptiprlemu  7471
  Copyright terms: Public domain W3C validator