Theorem prnminu 7708

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7701	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7693	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1r 1081	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
5		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
6		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
8	7	rexbidv 2533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
10	9	rspcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
15		df-rex 2516	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
17		ltrelnq 7584	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
23		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
25	24	exbii 1653	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27		df-rex 2516	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  Qcnq 7499   <_Q cltq 7504  Pcnp 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6707  df-ni 7523  df-nqqs 7567  df-ltnqqs 7572  df-inp 7685

This theorem is referenced by:  genprndu  7741  nqpru  7771  1idpru  7810  ltsopr  7815  ltexprlemopu  7822  ltexprlemru  7831  addcanprlemu  7834  recexprlemloc  7850  recexprlem1ssu  7853  aptiprlemu  7859