Theorem prnminu 7421

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7414	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1r 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
5		eleq1 2227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
6		breq2 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
7	6	anbi1d 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
8	7	rexbidv 2465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
9	5, 8	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
10	9	rspcv 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
11		biimp 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
13	12	impd 252	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
15		df-rex 2448	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
16	14, 15	sylib 121	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
17		ltrelnq 7297	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
19	18	simpld 111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 390	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
21	20	anbi1i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
22		ancom 264	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
23		anass 399	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 209	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
25	24	exbii 1592	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
26	16, 25	sylibr 133	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27		df-rex 2448	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	26, 27	sylibr 133	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 967   = wceq 1342  ∃wex 1479   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  ∃wrex 2443   ⊆ wss 3111  ⟨cop 3573   class class class wbr 3976  Qcnq 7212   <_Q cltq 7217  Pcnp 7223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-qs 6498  df-ni 7236  df-nqqs 7280  df-ltnqqs 7285  df-inp 7398

This theorem is referenced by:  genprndu  7454  nqpru  7484  1idpru  7523  ltsopr  7528  ltexprlemopu  7535  ltexprlemru  7544  addcanprlemu  7547  recexprlemloc  7563  recexprlem1ssu  7566  aptiprlemu  7572