Theorem prnminu 7856

Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnminu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnqu 7849	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7841	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1r 1086	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
5		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
6		breq2 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
7	6	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
8	7	rexbidv 2551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
10	9	rspcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
15		df-rex 2534	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
17		ltrelnq 7732	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
19	18	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 396	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
21	20	anbi1i 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
23		anass 405	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
25	24	exbii 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27		df-rex 2534	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 <Q 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  Qcnq 7647   <_Q cltq 7652  Pcnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7671  df-nqqs 7715  df-ltnqqs 7720  df-inp 7833

This theorem is used by:  genprndu  7889  nqpru  7919  1idpru  7958  ltsopr  7963  ltexprlemopu  7970  ltexprlemru  7979  addcanprlemu  7982  recexprlemloc  7998  recexprlem1ssu  8001  aptiprlemu  8007