Theorem prod3fmul 12182

Description: The product of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfmul.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
prod3fmul.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
prod3fmul.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
prod3fmul.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) x. ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
prod3fmul	|- ( ph -> ( seq M ( x. , H ) ` N ) = ( ( seq M ( x. , F ) ` N ) x. ( seq M ( x. , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, H   ph, k   k, M   k, N

Proof of Theorem prod3fmul

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8219	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
3		mulcom 8221	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
5		mulass 8223	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
6	5	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
7		prodfmul.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
8		prod3fmul.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
9		prod3fmul.3	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
10		prod3fmul.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) x. ( G ` k ) ) )
11	2, 4, 6, 7, 8, 9, 10	seq3caopr 10820	1 |- ( ph -> ( seq M ( x. , H ) ` N ) = ( ( seq M ( x. , F ) ` N ) x. ( seq M ( x. , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   x. cmul 8097   ZZ>=cuz 9816   seqcseq 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773

This theorem is referenced by:  prodfdivap  12188  fprodmul  12232  lgsdir  15854  lgsdi  15856