Theorem prod3fmul 11885

Description: The product of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfmul.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
prod3fmul.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
prod3fmul.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
prod3fmul.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) x. ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
prod3fmul	|- ( ph -> ( seq M ( x. , H ) ` N ) = ( ( seq M ( x. , F ) ` N ) x. ( seq M ( x. , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, H   ph, k   k, M   k, N

Proof of Theorem prod3fmul

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8054	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
3		mulcom 8056	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
5		mulass 8058	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
6	5	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
7		prodfmul.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
8		prod3fmul.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
9		prod3fmul.3	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
10		prod3fmul.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) x. ( G ` k ) ) )
11	2, 4, 6, 7, 8, 9, 10	seq3caopr 10642	1 |- ( ph -> ( seq M ( x. , H ) ` N ) = ( ( seq M ( x. , F ) ` N ) x. ( seq M ( x. , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   x. cmul 7932   ZZ>=cuz 9650   seqcseq 10594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595

This theorem is referenced by:  prodfdivap  11891  fprodmul  11935  lgsdir  15545  lgsdi  15547