Theorem prodf1 11928

Description: The value of the partial products in a one-valued infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodf1	|- ( N e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` N ) = 1 )

Proof of Theorem prodf1

Dummy variables k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1t1e1 9209	. . 3 |- ( 1 x. 1 ) = 1
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
3		prodf1.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	eleq2i 2273	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	biimpi 120	. 2 |- ( N e. Z -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		ax-1cn 8038	. . 3 |- 1 e. CC
7		elfzuz 10163	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7, 3	eleqtrrdi 2300	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. Z )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. Z )
10		fvconst2g 5811	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
11	6, 9, 10	sylancr 414	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
12	6	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> 1 e. CC )
13	3	eleq2i 2273	. . . . 5 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	6, 10	mpan 424	. . . . 5 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	13, 14	sylbir 135	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16	15	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
17	16, 6	eqeltrdi 2297	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
18		mulcl 8072	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k x. v ) e. CC )
19	18	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. Z /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k x. v ) e. CC )
20	2, 5, 11, 12, 17, 19	seq3id3 10691	1 |- ( N e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` N ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   {csn 3638   X. cxp 4681   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   CCcc 7943   1c1 7946   x. cmul 7950   ZZ>=cuz 9668   ...cfz 10150   seqcseq 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615

This theorem is referenced by:  prodf1f  11929  fprodntrivap  11970  prod1dc  11972