Theorem prodf1 11343

Description: The value of the partial products in a one-valued infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodf1	|- ( N e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` N ) = 1 )

Proof of Theorem prodf1

Dummy variables k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1t1e1 8896	. . 3 |- ( 1 x. 1 ) = 1
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
3		prodf1.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	eleq2i 2207	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	biimpi 119	. 2 |- ( N e. Z -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		ax-1cn 7737	. . 3 |- 1 e. CC
7		elfzuz 9833	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7, 3	eleqtrrdi 2234	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. Z )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. Z )
10		fvconst2g 5642	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
11	6, 9, 10	sylancr 411	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
12	6	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> 1 e. CC )
13	3	eleq2i 2207	. . . . 5 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	6, 10	mpan 421	. . . . 5 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	13, 14	sylbir 134	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16	15	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
17	16, 6	eqeltrdi 2231	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
18		mulcl 7771	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k x. v ) e. CC )
19	18	adantl 275	. 2 |- ( ( N e. Z /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k x. v ) e. CC )
20	2, 5, 11, 12, 17, 19	seq3id3 10311	1 |- ( N e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` N ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532   X. cxp 4545   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   x. cmul 7649   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  prodf1f  11344