Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodfdivap Unicode version

Theorem prodfdivap 11323
 Description: The quotient of two products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1
prodfdivap.2
prodfdivap.3
prodfdivap.4 #
prodfdivap.5
Assertion
Ref Expression
prodfdivap
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem prodfdivap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4
2 prodfdivap.3 . . . 4
3 elfzuz 9809 . . . . 5
4 prodfdivap.4 . . . . 5 #
53, 4sylan2 284 . . . 4 #
6 eqid 2139 . . . . . 6
7 fveq2 5421 . . . . . . 7
87oveq2d 5790 . . . . . 6
9 simpr 109 . . . . . 6
102, 4recclapd 8548 . . . . . 6
116, 8, 9, 10fvmptd3 5514 . . . . 5
123, 11sylan2 284 . . . 4
1311, 10eqeltrd 2216 . . . 4
141, 2, 5, 12, 13prodfrecap 11322 . . 3
1514oveq2d 5790 . 2
16 prodfdivap.2 . . 3
17 eleq1w 2200 . . . . . . . . 9
1817anbi2d 459 . . . . . . . 8
19 fveq2 5421 . . . . . . . . 9
2019eleq1d 2208 . . . . . . . 8
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7
2221, 2chvarvv 1880 . . . . . 6
2319breq1d 3939 . . . . . . . 8 # #
2418, 23imbi12d 233 . . . . . . 7 # #
2524, 4chvarvv 1880 . . . . . 6 #
2622, 25recclapd 8548 . . . . 5
2726fmpttd 5575 . . . 4
2827ffvelrnda 5555 . . 3
2916, 2, 4divrecapd 8560 . . . 4
30 prodfdivap.5 . . . 4
3111oveq2d 5790 . . . 4
3229, 30, 313eqtr4d 2182 . . 3
331, 16, 28, 32prod3fmul 11317 . 2
34 eqid 2139 . . . . 5
35 eluzel2 9338 . . . . . 6
361, 35syl 14 . . . . 5
3734, 36, 16prodf 11314 . . . 4
3837, 1ffvelrnd 5556 . . 3
3934, 36, 2prodf 11314 . . . 4
4039, 1ffvelrnd 5556 . . 3
411, 2, 5prodfap0 11321 . . 3 #
4238, 40, 41divrecapd 8560 . 2
4315, 33, 423eqtr4d 2182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3929   cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cc0 7627  c1 7628   cmul 7632   # cap 8350   cdiv 8439  cz 9061  cuz 9333  cfz 9797   cseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator