ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbas Unicode version
Theorem qtopbas 15387
Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qtopbas |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Proof of Theorem qtopbas
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qssre 9962 . . 3 |- QQ C_ RR
2 ressxr 8317 . . 3 |- RR C_ RR*
31, 2sstri 3247 . 2 |- QQ C_ RR*
4 qre 9957 . . . 4 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
5 qre 9957 . . . 4 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
6 xrmaxrecl 11940 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
74, 5, 6syl2an 289 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
8 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = x )
9 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
108, 9eqeltrd 2309 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
11 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = y )
12 simplr 529 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
1311, 12eqeltrd 2309 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
14 qletric 10601 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
15 maxclpr 11907 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
164, 5, 15syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
1714, 16mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
18 elpri 3712 . . . . 5 |- ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
1917, 18syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
2010, 13, 19mpjaodan 806 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
217, 20eqeltrd 2309 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
22 xrminrecl 11958 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
234, 5, 22syl2an 289 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
24 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = x )
25 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
2624, 25eqeltrd 2309 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
27 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = y )
28 simplr 529 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
2927, 28eqeltrd 2309 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
30 minclpr 11922 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
314, 5, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
3214, 31mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
33 elpri 3712 . . . . 5 |- (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3432, 33syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3526, 29, 34mpjaodan 806 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
3623, 35eqeltrd 2309 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
373, 21, 36qtopbasss 15386 1 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cpr 3690   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   "cima 4752   supcsup 7273  infcinf 7274   RRcr 8126   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   QQcq 9951   (,)cioo 10221   TopBasesctb 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-ioo 10225  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-bases 14908
This theorem is referenced by:  tgqioo  15420
  Copyright terms: Public domain W3C validator