ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbas Unicode version
Theorem qtopbas 14107
Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qtopbas |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Proof of Theorem qtopbas
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qssre 9632 . . 3 |- QQ C_ RR
2 ressxr 8003 . . 3 |- RR C_ RR*
31, 2sstri 3166 . 2 |- QQ C_ RR*
4 qre 9627 . . . 4 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
5 qre 9627 . . . 4 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
6 xrmaxrecl 11265 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
74, 5, 6syl2an 289 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
8 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = x )
9 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
108, 9eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
11 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = y )
12 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
1311, 12eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
14 qletric 10246 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
15 maxclpr 11233 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
164, 5, 15syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
1714, 16mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
18 elpri 3617 . . . . 5 |- ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
1917, 18syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
2010, 13, 19mpjaodan 798 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
217, 20eqeltrd 2254 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
22 xrminrecl 11283 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
234, 5, 22syl2an 289 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
24 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = x )
25 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
2624, 25eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
27 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = y )
28 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
2927, 28eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
30 minclpr 11247 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
314, 5, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
3214, 31mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
33 elpri 3617 . . . . 5 |- (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3432, 33syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3526, 29, 34mpjaodan 798 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
3623, 35eqeltrd 2254 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
373, 21, 36qtopbasss 14106 1 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cpr 3595   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   "cima 4631   supcsup 6983  infcinf 6984   RRcr 7812   RR*cxr 7993   < clt 7994   <_ cle 7995   QQcq 9621   (,)cioo 9890   TopBasesctb 13627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-ioo 9894  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-bases 13628
This theorem is referenced by:  tgqioo  14132
  Copyright terms: Public domain W3C validator