ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbas Unicode version
Theorem qtopbas 13316
Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qtopbas |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Proof of Theorem qtopbas
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qssre 9589 . . 3 |- QQ C_ RR
2 ressxr 7963 . . 3 |- RR C_ RR*
31, 2sstri 3156 . 2 |- QQ C_ RR*
4 qre 9584 . . . 4 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
5 qre 9584 . . . 4 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
6 xrmaxrecl 11218 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
74, 5, 6syl2an 287 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
8 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = x )
9 simpll 524 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
108, 9eqeltrd 2247 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
11 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = y )
12 simplr 525 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
1311, 12eqeltrd 2247 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
14 qletric 10200 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
15 maxclpr 11186 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
164, 5, 15syl2an 287 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
1714, 16mpbird 166 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
18 elpri 3606 . . . . 5 |- ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
1917, 18syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
2010, 13, 19mpjaodan 793 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
217, 20eqeltrd 2247 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
22 xrminrecl 11236 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
234, 5, 22syl2an 287 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
24 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = x )
25 simpll 524 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
2624, 25eqeltrd 2247 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
27 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = y )
28 simplr 525 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
2927, 28eqeltrd 2247 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
30 minclpr 11200 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
314, 5, 30syl2an 287 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
3214, 31mpbird 166 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
33 elpri 3606 . . . . 5 |- (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3432, 33syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3526, 29, 34mpjaodan 793 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
3623, 35eqeltrd 2247 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
373, 21, 36qtopbasss 13315 1 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cpr 3584   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   "cima 4614   supcsup 6959  infcinf 6960   RRcr 7773   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   QQcq 9578   (,)cioo 9845   TopBasesctb 12834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-ioo 9849  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-bases 12835
This theorem is referenced by:  tgqioo  13341
  Copyright terms: Public domain W3C validator