ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbas Unicode version
Theorem qtopbas 13915
Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qtopbas |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Proof of Theorem qtopbas
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qssre 9628 . . 3 |- QQ C_ RR
2 ressxr 7999 . . 3 |- RR C_ RR*
31, 2sstri 3164 . 2 |- QQ C_ RR*
4 qre 9623 . . . 4 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
5 qre 9623 . . . 4 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
6 xrmaxrecl 11258 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
74, 5, 6syl2an 289 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { x , y } , RR , < ) )
8 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = x )
9 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
108, 9eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
11 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) = y )
12 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
1311, 12eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
14 qletric 10241 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
15 maxclpr 11226 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
164, 5, 15syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
1714, 16mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
18 elpri 3615 . . . . 5 |- ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
1917, 18syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) = x \/ sup ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
2010, 13, 19mpjaodan 798 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
217, 20eqeltrd 2254 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
22 xrminrecl 11276 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
234, 5, 22syl2an 289 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { x , y } , RR , < ) )
24 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = x )
25 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> x e. QQ )
2624, 25eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = x ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
27 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) = y )
28 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> y e. QQ )
2927, 28eqeltrd 2254 . . . 4 |- ( ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) /\ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
30 minclpr 11240 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
314, 5, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } <-> ( x <_ y \/ y <_ x ) ) )
3214, 31mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } )
33 elpri 3615 . . . . 5 |- (inf ( { x , y } , RR , < ) e. { x , y } -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3432, 33syl 14 . . . 4 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> (inf ( { x , y } , RR , < ) = x \/ inf ( { x , y } , RR , < ) = y ) )
3526, 29, 34mpjaodan 798 . . 3 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR , < ) e. QQ )
3623, 35eqeltrd 2254 . 2 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. QQ )
373, 21, 36qtopbasss 13914 1 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cpr 3593   class class class wbr 4003   X. cxp 4624   "cima 4629   supcsup 6980  infcinf 6981   RRcr 7809   RR*cxr 7989   < clt 7990   <_ cle 7991   QQcq 9617   (,)cioo 9886   TopBasesctb 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-ioo 9890  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-bases 13434
This theorem is referenced by:  tgqioo  13940
  Copyright terms: Public domain W3C validator