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Theorem qtri3or 9543
Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qtri3or  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )

Proof of Theorem qtri3or
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9002 . . . 4  |-  ( N  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  N  =  ( z  /  w ) )
21biimpi 118 . . 3  |-  ( N  e.  QQ  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  N  =  ( z  /  w ) )
32adantl 271 . 2  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  N  =  ( z  /  w ) )
4 elq 9002 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  M  =  ( x  /  y ) )
54biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( M  e.  QQ  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  M  =  ( x  /  y ) )
65ad3antrrr 476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  N  =  ( z  /  w
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  M  =  ( x  /  y ) )
7 simplrl 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  ZZ )
8 simplrr 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  N  =  ( z  /  w
) )  ->  w  e.  NN )
98ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  NN )
109nnzd 8763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  ZZ )
117, 10zmulcld 8770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  ZZ )
12 simplrl 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  N  =  ( z  /  w
) )  ->  z  e.  ZZ )
1312ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  ZZ )
14 simplrr 503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  NN )
1514nnzd 8763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  ZZ )
1613, 15zmulcld 8770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  x.  y )  e.  ZZ )
17 ztri3or 8689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  ZZ  /\  ( z  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  w )  < 
( z  x.  y
)  \/  ( x  x.  w )  =  ( z  x.  y
)  \/  ( z  x.  y )  < 
( x  x.  w
) ) )
1811, 16, 17syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  <  ( z  x.  y )  \/  (
x  x.  w )  =  ( z  x.  y )  \/  (
z  x.  y )  <  ( x  x.  w ) ) )
19 simpllr 501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  N  =  ( z  /  w ) )
2019breq2d 3823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  /  y
)  <  N  <->  ( x  /  y )  < 
( z  /  w
) ) )
21 breq1 3814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  ( x  / 
y )  ->  ( M  <  N  <->  ( x  /  y )  < 
N ) )
2221adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  ( M  <  N  <->  ( x  /  y )  < 
N ) )
237zred 8764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  RR )
249nnrpd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  RR+ )
2513zred 8764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  RR )
2614nnrpd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  RR+ )
2723, 24, 25, 26lt2mul2divd 9131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  <  ( z  x.  y )  <->  ( x  /  y )  < 
( z  /  w
) ) )
2820, 22, 273bitr4rd 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  <  ( z  x.  y )  <->  M  <  N ) )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  M  =  ( x  / 
y ) )
3029, 19eqeq12d 2097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  ( M  =  N  <->  ( x  /  y )  =  ( z  /  w
) ) )
317zcnd 8765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  CC )
3213zcnd 8765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  CC )
3314nncnd 8330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  CC )
3414nnap0d 8361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  y #  0 )
3533, 34jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
369nncnd 8330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  CC )
379nnap0d 8361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  w #  0 )
3836, 37jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
39 divmuleqap 8082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  y )  =  ( z  /  w
)  <->  ( x  x.  w )  =  ( z  x.  y ) ) )
4031, 32, 35, 38, 39syl22anc 1171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  /  y
)  =  ( z  /  w )  <->  ( x  x.  w )  =  ( z  x.  y ) ) )
4130, 40bitr2d 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( z  x.  y )  <->  M  =  N ) )
4225, 26, 23, 24lt2mul2divd 9131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  x.  y
)  <  ( x  x.  w )  <->  ( z  /  w )  <  (
x  /  y ) ) )
4319, 29breq12d 3824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  ( N  <  M  <->  ( z  /  w )  <  (
x  /  y ) ) )
4442, 43bitr4d 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  x.  y
)  <  ( x  x.  w )  <->  N  <  M ) )
4528, 41, 443orbi123d 1243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( x  x.  w )  <  (
z  x.  y )  \/  ( x  x.  w )  =  ( z  x.  y )  \/  ( z  x.  y )  <  (
x  x.  w ) )  <->  ( M  < 
N  \/  M  =  N  \/  N  < 
M ) ) )
4618, 45mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  M  =  ( x  /  y
) )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
4746ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  N  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( M  =  ( x  / 
y )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) ) )
4847rexlimdvva 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  N  =  ( z  /  w
) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  M  =  ( x  / 
y )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) ) )
496, 48mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  N  =  ( z  /  w
) )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
5049ex 113 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( N  =  ( z  /  w )  ->  ( M  < 
N  \/  M  =  N  \/  N  < 
M ) ) )
5150rexlimdvva 2490 . 2  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  N  =  ( z  /  w )  ->  ( M  < 
N  \/  M  =  N  \/  N  < 
M ) ) )
523, 51mpd 13 1  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   CCcc 7251   0cc0 7253    x. cmul 7258    < clt 7425   # cap 7958    / cdiv 8037   NNcn 8316   ZZcz 8646   QQcq 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030
This theorem is referenced by:  qletric  9544  qlelttric  9545  qltnle  9546  qdceq  9547
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