Theorem qabsor 11043

Description: The absolute value of a rational number is either that number or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qabsor	|- ( A e. QQ -> ( ( abs ` A ) = A \/ ( abs ` A ) = -u A ) )

Proof of Theorem qabsor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9588	. 2 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		0z 9227	. . . 4 |- 0 e. ZZ
3		zq 9589	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- 0 e. QQ
5		qletric 10204	. . 3 |- ( ( 0 e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
6	4, 5	mpan 422	. 2 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
7		absid 11039	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
8	7	ex 114	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( abs ` A ) = A ) )
9		absnid 11041	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
10	9	ex 114	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 -> ( abs ` A ) = -u A ) )
11	8, 10	orim12d 782	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) -> ( ( abs ` A ) = A \/ ( abs ` A ) = -u A ) ) )
12	1, 6, 11	sylc 62	1 |- ( A e. QQ -> ( ( abs ` A ) = A \/ ( abs ` A ) = -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 704   = wceq 1349   e. wcel 2142   class class class wbr 3990   ` cfv 5200   RRcr 7777   0cc0 7778   <_ cle 7959   -ucneg 8095   ZZcz 9216   QQcq 9582   abscabs 10965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-q 9583  df-rp 9615  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967

This theorem is referenced by:  qabsord  11044  gcdabs  11947  lcmabs  12034  pcabs  12283