ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qabsor Unicode version

Theorem qabsor 10496
Description: The absolute value of a rational number is either that number or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
qabsor  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )

Proof of Theorem qabsor
StepHypRef Expression
1 qre 9100 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
2 0z 8751 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 zq 9101 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
42, 3ax-mp 7 . . 3  |-  0  e.  QQ
5 qletric 9643 . . 3  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  A  e.  QQ )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
64, 5mpan 415 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
7 absid 10492 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
87ex 113 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( abs `  A )  =  A ) )
9 absnid 10494 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
109ex 113 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  ->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
118, 10orim12d 735 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  \/  A  <_  0 )  ->  ( ( abs `  A )  =  A  \/  ( abs `  A
)  =  -u A
) ) )
121, 6, 11sylc 61 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3843   ` cfv 5010   RRcr 7339   0cc0 7340    <_ cle 7513   -ucneg 7644   ZZcz 8740   QQcq 9094   abscabs 10418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420
This theorem is referenced by:  qabsord  10497  gcdabs  11244  lcmabs  11323
  Copyright terms: Public domain W3C validator