Theorem reap0 17108

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of apartness from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reap0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem reap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
2		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		0re 8326	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		breq1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
5		equequ1 1764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
6		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
7	4, 5, 6	3orbi123d 1352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧)))
8		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 0))
9		eqeq2 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 0))
10		breq1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
11	8, 9, 10	3orbi123d 1352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
12	7, 11	rspc2v 2943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
13	2, 3, 12	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
14	1, 13	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧))
15		triap 17078	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
16	2, 3, 15	sylancl 417	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
17	14, 16	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → DECID 𝑧 # 0)
18	17	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
19		breq1 4133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	19	dcbid 850	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (DECID 𝑧 # 0 ↔ DECID (𝑥 − 𝑦) # 0))
21		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
22		resubcl 8590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
24	20, 21, 23	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID (𝑥 − 𝑦) # 0)
25		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	recnd 8354	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	27	recnd 8354	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		subap0 8971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
30	26, 28, 29	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
31	30	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (DECID (𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
32	24, 31	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
33		triap 17078	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
34	33	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35	32, 34	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
36	35	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
37	18, 36	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360   − cmin 8497   # cap 8909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910

This theorem is used by:  dcapnconstALT  17112