Theorem reap0 16662

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of apartness from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reap0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem reap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
2		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		0re 8178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		breq1 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
5		equequ1 1760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
6		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
7	4, 5, 6	3orbi123d 1347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧)))
8		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 0))
9		eqeq2 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 0))
10		breq1 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
11	8, 9, 10	3orbi123d 1347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
12	7, 11	rspc2v 2923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
13	2, 3, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
14	1, 13	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧))
15		triap 16633	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
16	2, 3, 15	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
17	14, 16	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → DECID 𝑧 # 0)
18	17	ralrimiva 2605	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
19		breq1 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	19	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (DECID 𝑧 # 0 ↔ DECID (𝑥 − 𝑦) # 0))
21		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
22		resubcl 8442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
24	20, 21, 23	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID (𝑥 − 𝑦) # 0)
25		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	recnd 8207	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	27	recnd 8207	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		subap0 8822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
30	26, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
31	30	dcbid 845	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (DECID (𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
32	24, 31	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
33		triap 16633	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
34	33	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35	32, 34	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
36	35	ralrimivva 2614	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
37	18, 36	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213   − cmin 8349   # cap 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761

This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  16666