Theorem reap0 15618

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of apartness from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reap0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem reap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
2		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		0re 8021	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		breq1 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
5		equequ1 1723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
6		breq2 4034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
7	4, 5, 6	3orbi123d 1322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧)))
8		breq2 4034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 0))
9		eqeq2 2203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 0))
10		breq1 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
11	8, 9, 10	3orbi123d 1322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
12	7, 11	rspc2v 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
13	2, 3, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
14	1, 13	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧))
15		triap 15589	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
16	2, 3, 15	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
17	14, 16	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → DECID 𝑧 # 0)
18	17	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
19		breq1 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	19	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (DECID 𝑧 # 0 ↔ DECID (𝑥 − 𝑦) # 0))
21		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
22		resubcl 8285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
24	20, 21, 23	rspcdva 2870	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID (𝑥 − 𝑦) # 0)
25		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	27	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		subap0 8664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
30	26, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
31	30	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (DECID (𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
32	24, 31	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
33		triap 15589	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
34	33	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35	32, 34	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
36	35	ralrimivva 2576	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
37	18, 36	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874   < clt 8056   − cmin 8192   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  15622