Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reap0 GIF version

Theorem reap0 15548
Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of apartness from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
reap0 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem reap0
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
2 simpr 110 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3 0re 8019 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
4 breq1 4032 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
5 equequ1 1723 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦𝑧 = 𝑦))
6 breq2 4033 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑧))
74, 5, 63orbi123d 1322 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦𝑦 < 𝑧)))
8 breq2 4033 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑧 < 𝑦𝑧 < 0))
9 eqeq2 2203 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑧 = 𝑦𝑧 = 0))
10 breq1 4032 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
118, 9, 103orbi123d 1322 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → ((𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
127, 11rspc2v 2877 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
132, 3, 12sylancl 413 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
141, 13mpd 13 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧))
15 triap 15519 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
162, 3, 15sylancl 413 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
1714, 16mpbid 147 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → DECID 𝑧 # 0)
1817ralrimiva 2567 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
19 breq1 4032 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥𝑦) # 0))
2019dcbid 839 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (DECID 𝑧 # 0 ↔ DECID (𝑥𝑦) # 0))
21 simpl 109 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
22 resubcl 8283 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
2322adantl 277 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
2420, 21, 23rspcdva 2869 . . . . 5 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID (𝑥𝑦) # 0)
25 simprl 529 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2625recnd 8048 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27 simprr 531 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2827recnd 8048 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29 subap0 8662 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
3026, 28, 29syl2anc 411 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
3130dcbid 839 . . . . 5 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (DECID (𝑥𝑦) # 0 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
3224, 31mpbid 147 . . . 4 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
33 triap 15519 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
3433adantl 277 . . . 4 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
3532, 34mpbird 167 . . 3 ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
3635ralrimivva 2576 . 2 (∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
3718, 36impbii 126 1 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  cc 7870  cr 7871  0cc0 7872   < clt 8054  cmin 8190   # cap 8600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601
This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  15552
  Copyright terms: Public domain W3C validator