Theorem reap0 16132

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of apartness from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reap0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem reap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
2		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		0re 8087	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		breq1 4053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
5		equequ1 1736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
6		breq2 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑧))
7	4, 5, 6	3orbi123d 1324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧)))
8		breq2 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 0))
9		eqeq2 2216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 0))
10		breq1 4053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
11	8, 9, 10	3orbi123d 1324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
12	7, 11	rspc2v 2894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
13	2, 3, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧)))
14	1, 13	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧))
15		triap 16103	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
16	2, 3, 15	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 0 ∨ 𝑧 = 0 ∨ 0 < 𝑧) ↔ DECID 𝑧 # 0))
17	14, 16	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → DECID 𝑧 # 0)
18	17	ralrimiva 2580	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
19		breq1 4053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) # 0))
20	19	dcbid 840	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (DECID 𝑧 # 0 ↔ DECID (𝑥 − 𝑦) # 0))
21		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)
22		resubcl 8351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
24	20, 21, 23	rspcdva 2886	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID (𝑥 − 𝑦) # 0)
25		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	recnd 8116	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	27	recnd 8116	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		subap0 8731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
30	26, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 𝑦))
31	30	dcbid 840	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (DECID (𝑥 − 𝑦) # 0 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
32	24, 31	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
33		triap 16103	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
34	33	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35	32, 34	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
36	35	ralrimivva 2589	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
37	18, 36	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939  0cc0 7940   < clt 8122   − cmin 8258   # cap 8669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670

This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  16136