ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  redivclap GIF version

Theorem redivclap 8514
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
redivclap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivclap
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 7817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simp2 983 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 7817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 simp3 984 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
6 divrecap 8471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1217 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
8 rerecclap 8513 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
983adant1 1000 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
101, 9remulcld 7819 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℝ)
117, 10eqeltrd 2217 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   · cmul 7648   # cap 8366   / cdiv 8455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456
This theorem is referenced by:  redivclapzi  8561  redivclapd  8617  lediv1  8650  nndivre  8779  rehalfcl  8970  qre  9443  rpdivcl  9495  rerpdivcl  9500  resin4p  11459  recos4p  11460  retanclap  11463  sin01gt0  11502  cos01gt0  11503
  Copyright terms: Public domain W3C validator