Theorem reim0 10825

Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reim0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem reim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7907	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		it0e0 9099	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
3	2	oveq2i 5864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 0)) = (𝐴 + 0)
4		addid1 8057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (i · 0)) = 𝐴)
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (i · 0)) = 𝐴)
7	6	fveq2d 5500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = (ℑ‘𝐴))
8		0re 7920	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		crim 10822	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = 0)
10	8, 9	mpan2 423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = 0)
11	7, 10	eqtr3d 2205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779  ℑcim 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808

This theorem is referenced by:  reim0b  10826  rereb  10827  remul2  10837  immul2  10844  im0  10860  im1  10862  reim0d  10934