Theorem rspssp 14371

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspssp.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14341	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3		simp2 1001	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		rspssp.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
5		lidlvalg 14348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2252	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		simp3 1002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐺 ⊆ 𝐼)
11		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	lspssp 14280	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
15		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
16		rspvalg 14349	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
17	15, 16	eqtrid 2252	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq1d 5601	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
19	18	sseq1d 3230	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
20	19	3ad2ant1 1021	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
21	14, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174  ‘cfv 5290  Ringcrg 13873  LModclmod 14164  LSubSpclss 14229  LSpanclspn 14263  ringLModcrglmod 14311  LIdealclidl 14344  RSpancrsp 14345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-subrg 14096  df-lmod 14166  df-lssm 14230  df-lsp 14264  df-sra 14312  df-rgmod 14313  df-lidl 14346  df-rsp 14347

This theorem is referenced by: (None)