Theorem rspssp 14814

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspssp.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14784	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		rspssp.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
5		lidlvalg 14791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐺 ⊆ 𝐼)
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	lspssp 14723	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
15		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
16		rspvalg 14792	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
17	15, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq1d 5695	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
19	18	sseq1d 3277	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
20	19	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
21	14, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  Ringcrg 14283  LModclmod 14606  LSubSpclss 14672  LSpanclspn 14706  ringLModcrglmod 14754  LIdealclidl 14787  RSpancrsp 14788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-subg 13956  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790

This theorem is used by: (None)