Theorem rspssp 14915

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspssp.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14885	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		rspssp.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
5		lidlvalg 14892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐺 ⊆ 𝐼)
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	lspssp 14824	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
15		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
16		rspvalg 14893	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
17	15, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq1d 5697	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
19	18	sseq1d 3277	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
20	19	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
21	14, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  Ringcrg 14384  LModclmod 14707  LSubSpclss 14773  LSpanclspn 14807  ringLModcrglmod 14855  LIdealclidl 14888  RSpancrsp 14889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-subrg 14611  df-lmod 14709  df-lssm 14774  df-lsp 14808  df-sra 14856  df-rgmod 14857  df-lidl 14890  df-rsp 14891

This theorem is used by: (None)