Theorem rspssp 14573

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspssp.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14543	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		rspssp.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
5		lidlvalg 14550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		simp3 1026	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐺 ⊆ 𝐼)
11		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	lspssp 14482	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
15		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
16		rspvalg 14551	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
17	15, 16	eqtrid 2276	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq1d 5650	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
19	18	sseq1d 3257	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
20	19	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
21	14, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  ‘cfv 5333  Ringcrg 14073  LModclmod 14366  LSubSpclss 14431  LSpanclspn 14465  ringLModcrglmod 14513  LIdealclidl 14546  RSpancrsp 14547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-subg 13820  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-subrg 14297  df-lmod 14368  df-lssm 14432  df-lsp 14466  df-sra 14514  df-rgmod 14515  df-lidl 14548  df-rsp 14549

This theorem is referenced by: (None)