Theorem rspssp 14452

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspssp.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14422	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		rspssp.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
5		lidlvalg 14429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → 𝐺 ⊆ 𝐼)
11		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	lspssp 14361	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼)
15		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
16		rspvalg 14430	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
17	15, 16	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq1d 5628	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
19	18	sseq1d 3253	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
20	19	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ⊆ 𝐼))
21	14, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5317  Ringcrg 13954  LModclmod 14245  LSubSpclss 14310  LSpanclspn 14344  ringLModcrglmod 14392  LIdealclidl 14425  RSpancrsp 14426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-ip 13123  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-subg 13702  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-subrg 14177  df-lmod 14247  df-lssm 14311  df-lsp 14345  df-sra 14393  df-rgmod 14394  df-lidl 14427  df-rsp 14428

This theorem is referenced by: (None)