Theorem s5s2d 11527

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s2s2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
s2s2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
s2s2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
s4s2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
s4s2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
s4s3d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
s5s2d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹𝐺”⟩))

Proof of Theorem s5s2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		s2s2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		s2s2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		s2s2d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5		s4s2d.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
6		s4s2d.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	s4s2d 11523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹”⟩))
8	7	eqcomd 2240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹”⟩)
9	8	oveq1d 6075	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹”⟩) ++ ⟨“𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹”⟩ ++ ⟨“𝐺”⟩))
10	1	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11	2	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
12	3	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
13	4	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
14	10, 11, 12, 13	s4cld 11502	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V)
15		s4s3d.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16	15	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17	16	s1cld 11340	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐺”⟩ ∈ Word V)
18		df-s5 11481	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸”⟩)
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸”⟩))
20		df-s2 11478	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐹”⟩ ++ ⟨“𝐺”⟩)
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐹”⟩ ++ ⟨“𝐺”⟩))
22	14, 17, 5, 6, 19, 21	cats2catd 11491	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹”⟩) ++ ⟨“𝐺”⟩))
23		df-s7 11483	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹”⟩ ++ ⟨“𝐺”⟩)
24	23	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹”⟩ ++ ⟨“𝐺”⟩))
25	9, 22, 24	3eqtr4rd 2278	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹𝐺”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  (class class class)co 6060   ++ cconcat 11308  ⟨“cs1 11333  ⟨“cs2 11471  ⟨“cs4 11473  ⟨“cs5 11474  ⟨“cs6 11475  ⟨“cs7 11476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-1o 6662  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-ihash 11169  df-word 11255  df-concat 11309  df-s1 11334  df-s2 11478  df-s3 11479  df-s4 11480  df-s5 11481  df-s6 11482  df-s7 11483

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  16615  konigsberglem2  16616  konigsberglem3  16617