Theorem seqfveqg 10741

Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfveq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfveq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
seqfveqg.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑉)
seqfveqg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
seqfveqg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
seqfveqg	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem seqfveqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfveq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 9760	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	uzidd 9771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		seqfveqg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
6		seqfveqg.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑉)
7		seq1g 10726	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ + ∈ 𝑉) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
9		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
10		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑀))
11	9, 10	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀)))
12		seqfveq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
13	12	ralrimiva 2605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
14		eluzfz1 10266	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
15	1, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
16	11, 13, 15	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
17	8, 16	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
18		seqfveqg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
19		fzp1ss 10308	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
20	3, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
21	20	sselda 3227	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
22	21, 12	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	4, 17, 6, 5, 18, 1, 22	seqfveq2g 10740	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  seqcseq 10710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-seqfrec 10711

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10783  seqf1og  10784