ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqfveqg GIF version

Theorem seqfveqg 10539
Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqfveq.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
seqfveqg.p (𝜑+𝑉)
seqfveqg.f (𝜑𝐹𝑊)
seqfveqg.g (𝜑𝐺𝑋)
Assertion
Ref Expression
seqfveqg (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem seqfveqg
StepHypRef Expression
1 seqfveq.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 9587 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43uzidd 9597 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
5 seqfveqg.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑊)
6 seqfveqg.p . . . 4 (𝜑+𝑉)
7 seq1g 10524 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑊+𝑉) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
83, 5, 6, 7syl3anc 1249 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
9 fveq2 5546 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
10 fveq2 5546 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑀))
119, 10eqeq12d 2208 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀)))
12 seqfveq.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1312ralrimiva 2567 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
14 eluzfz1 10087 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
151, 14syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
1611, 13, 15rspcdva 2869 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
178, 16eqtrd 2226 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐺𝑀))
18 seqfveqg.g . 2 (𝜑𝐺𝑋)
19 fzp1ss 10129 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
203, 19syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2120sselda 3179 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
2221, 12syldan 282 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
234, 17, 6, 5, 18, 1, 22seqfveq2g 10538 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  wss 3153  cfv 5246  (class class class)co 5910  1c1 7863   + caddc 7865  cz 9307  cuz 9582  ...cfz 10064  seqcseq 10508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-seqfrec 10509
This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10581  seqf1og  10582
  Copyright terms: Public domain W3C validator