Theorem seq3fveq 10571

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqfveq.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
iseqfveq.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqfveq.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqfveq.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3fveq	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, F   k, G, x, y   k, M, x, y   k, N, x, y   ph, k, x, y   .+ , k, x, y   S, k, x, y

Proof of Theorem seq3fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9606	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		uzid 9615	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6		iseqfveq.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
7		iseqfveq.pl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
8	3, 6, 7	seq3-1 10554	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
9		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
10		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
11	9, 10	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` k ) <-> ( F ` M ) = ( G ` M ) ) )
12		iseqfveq.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
13	12	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` k ) )
14		eluzfz1 10106	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
15	1, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
16	11, 13, 15	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` M ) )
17	8, 16	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( G ` M ) )
18		iseqfveq.g	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
19		fzp1ss 10148	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
20	3, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
21	20	sselda 3183	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
22	21, 12	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
23	5, 17, 6, 18, 7, 1, 22	seq3fveq2 10567	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  seq3feq  10572  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  fsum3  11552  fsum3ser  11562  fprodseq  11748  fprodntrivap  11749  mulgnngsum  13257