ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3fveq Unicode version

Theorem seq3fveq 10374
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqfveq.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
iseqfveq.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqfveq.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqfveq.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3fveq  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, k, y, F    k, G, x, y    k, M, x, y    k, N, x, y    ph, k, x, y    .+ , k, x, y    S, k, x, y

Proof of Theorem seq3fveq
StepHypRef Expression
1 iseqfveq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzel2 9445 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 uzid 9454 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 iseqfveq.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7 iseqfveq.pl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
83, 6, 7seq3-1 10363 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
9 fveq2 5469 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
10 fveq2 5469 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
119, 10eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  M ) ) )
12 iseqfveq.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
1312ralrimiva 2530 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
14 eluzfz1 9934 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
151, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
1611, 13, 15rspcdva 2821 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 M ) )
178, 16eqtrd 2190 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
18 iseqfveq.g . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
19 fzp1ss 9976 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
203, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
2120sselda 3128 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
2221, 12syldan 280 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
235, 17, 6, 18, 7, 1, 22seq3fveq2 10372 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128    C_ wss 3102   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1c1 7734    + caddc 7736   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913    seqcseq 10348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-fz 9914  df-seqfrec 10349
This theorem is referenced by:  seq3feq  10375  seq3f1olemqsumk  10402  seq3f1olemqsum  10403  seq3f1oleml  10406  seq3f1o  10407  fsum3  11288  fsum3ser  11298  fprodseq  11484  fprodntrivap  11485
  Copyright terms: Public domain W3C validator