Theorem seq3fveq 10406

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqfveq.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
iseqfveq.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqfveq.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqfveq.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3fveq	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, F   k, G, x, y   k, M, x, y   k, N, x, y   ph, k, x, y   .+ , k, x, y   S, k, x, y

Proof of Theorem seq3fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9471	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		uzid 9480	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6		iseqfveq.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
7		iseqfveq.pl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
8	3, 6, 7	seq3-1 10395	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
9		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
10		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
11	9, 10	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` k ) <-> ( F ` M ) = ( G ` M ) ) )
12		iseqfveq.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
13	12	ralrimiva 2539	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` k ) )
14		eluzfz1 9966	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
15	1, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
16	11, 13, 15	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` M ) )
17	8, 16	eqtrd 2198	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( G ` M ) )
18		iseqfveq.g	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
19		fzp1ss 10008	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
20	3, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
21	20	sselda 3142	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
22	21, 12	syldan 280	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
23	5, 17, 6, 18, 7, 1, 22	seq3fveq2 10404	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  seq3feq  10407  seq3f1olemqsumk  10434  seq3f1olemqsum  10435  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  fsum3  11328  fsum3ser  11338  fprodseq  11524  fprodntrivap  11525