Theorem seq3fveq 10931

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqfveq.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
iseqfveq.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqfveq.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqfveq.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3fveq	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, F   k, G, x, y   k, M, x, y   k, N, x, y   ph, k, x, y   .+ , k, x, y   S, k, x, y

Proof of Theorem seq3fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9936	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		uzid 9946	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6		iseqfveq.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
7		iseqfveq.pl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
8	3, 6, 7	seq3-1 10914	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
9		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
10		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
11	9, 10	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` k ) <-> ( F ` M ) = ( G ` M ) ) )
12		iseqfveq.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
13	12	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` k ) )
14		eluzfz1 10446	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
15	1, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
16	11, 13, 15	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` M ) )
17	8, 16	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( G ` M ) )
18		iseqfveq.g	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
19		fzp1ss 10491	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
20	3, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
21	20	sselda 3248	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
22	21, 12	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
23	5, 17, 6, 18, 7, 1, 22	seq3fveq2 10927	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8181   + caddc 8183   ZZcz 9649   ZZ>=cuz 9931   ...cfz 10422   seqcseq 10899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-seqfrec 10900

This theorem is used by:  seq3feq  10932  seq3f1olemqsumk  10964  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  fsum3  12173  fsum3ser  12183  fprodseq  12369  fprodntrivap  12370  mulgnngzsum  13983