Theorem seqf1og 10730

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 29-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1og.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
seqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
seqf1og.g	|- ( ph -> G e. W )
seqf1og.h	|- ( ph -> H e. X )

Assertion

Ref	Expression
seqf1og	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, F   k, G, x, y, z   k, M, x, y, z   .+ , k, x, y, z   k, N, x, y, z   ph, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, k, x, y, z   k, H

Allowed substitution hints:   H( x, y, z)   V( x, y, z, k)   W( x, y, z, k)   X( x, y, z, k)

Proof of Theorem seqf1og

Dummy variables f g s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		seqf1o.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
3	2	fmpttd 5783	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C )
4		seqf1o.4	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		oveq2 6002	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( M ... x ) = ( M ... M ) )
6		f1oeq23 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... M ) /\ ( M ... x ) = ( M ... M ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
7	5, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
8	5	feq2d 5457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... M ) --> C ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) )
10		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) )
11		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
12	10, 11	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
13	9, 12	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
14	13	2albidv 1913	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) ) )
16		oveq2 6002	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( M ... x ) = ( M ... k ) )
17		f1oeq23 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... k ) /\ ( M ... x ) = ( M ... k ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
18	16, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
19	16	feq2d 5457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... k ) --> C ) )
20	18, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) ) )
21		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) )
22		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) )
23	21, 22	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
24	20, 23	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
25	24	2albidv 1913	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
26	25	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) ) )
27		oveq2 6002	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
28		f1oeq23 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) /\ ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
29	27, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
30	27	feq2d 5457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) )
31	29, 30	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) )
32		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) )
33		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
34	32, 33	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) )
35	31, 34	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
36	35	2albidv 1913	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
38		oveq2 6002	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( M ... x ) = ( M ... N ) )
39		f1oeq23 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... N ) /\ ( M ... x ) = ( M ... N ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
40	38, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
41	38	feq2d 5457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... N ) --> C ) )
42	40, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) ) )
43		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) )
44		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) )
45	43, 44	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
46	42, 45	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
47	46	2albidv 1913	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
48	47	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) ) )
49		f1of 5568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
51		elfz3 10218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
52		fvco3 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
53	50, 51, 52	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
54	53	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
55		ffvelcdm 5761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
56	49, 51, 55	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
57		fzsn 10250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
58	57	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) <-> ( f ` M ) e. { M } ) )
59		elsni 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f ` M ) e. { M } -> ( f ` M ) = M )
60	58, 59	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) -> ( f ` M ) = M ) )
61	60	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f ` M ) e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
62	56, 61	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
63	62	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( f ` M ) = M )
64	63	fveq2d 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( g ` ( f ` M ) ) = ( g ` M ) )
65	64	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( g ` ( f ` M ) ) = ( g ` M ) )
66	54, 65	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` M ) )
67		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> M e. ZZ )
68		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
69		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- f e. _V
70	68, 69	coex 5270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g o. f ) e. _V
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( g o. f ) e. _V )
72		seqf1og.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+ e. V )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> .+ e. V )
74		seq1g 10672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( g o. f ) e. _V /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
75	67, 71, 73, 74	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
76	68	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> g e. _V )
77		seq1g 10672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ g e. _V /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
78	67, 76, 73, 77	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
79	66, 75, 78	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
80	79	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
81	80	alrimivv 1921	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
82	81	expcom 116	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
83		f1oeq1 5556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = t -> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) <-> t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
84		feq1 5452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = s -> ( g : ( M ... k ) --> C <-> s : ( M ... k ) --> C ) )
85	83, 84	bi2anan9r 609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) <-> ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) ) )
86		coeq1 4876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = s -> ( g o. f ) = ( s o. f ) )
87		coeq2 4877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = t -> ( s o. f ) = ( s o. t ) )
88	86, 87	sylan9eq 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( g o. f ) = ( s o. t ) )
89	88	seqeq3d 10664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( s o. t ) ) )
90	89	fveq1d 5625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) )
91		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> g = s )
92	91	seqeq3d 10664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , s ) )
93	92	fveq1d 5625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) )
94	90, 93	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) <-> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
95	85, 94	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) ) )
96	95	cbval2vw 1979	. . . . . . . . 9 |- ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
97		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ph )
98		seqf1o.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
99	97, 98	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
100		seqf1o.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
101	97, 100	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
102		seqf1o.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
103	97, 102	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
104		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
105		seqf1o.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C C_ S )
106	97, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> C C_ S )
107	97, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> .+ e. V )
108		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) )
109		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C )
110		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) ) = ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) )
111		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' f ` ( k + 1 ) ) = ( `' f ` ( k + 1 ) )
112		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
113	112, 96	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
114	99, 101, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 113	seqf1oglem2 10729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
115	114	exp31 364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
116	96, 115	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
117	116	alrimdv 1922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
118	117	alrimdv 1922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
119	96, 118	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
120	119	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
121	120	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
122	15, 26, 37, 48, 82, 121	uzind4 9771	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
123	4, 122	mpcom 36	. . . 4 |- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
124	2	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( G ` x ) e. C )
125		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) )
126	125	fnmpt 5446	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( M ... N ) ( G ` x ) e. C -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N ) )
127	124, 126	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N ) )
128		eluzel2 9715	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
129	4, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
130		eluzelz 9719	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
131	4, 130	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
132	129, 131	fzfigd 10640	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
133		fnfi 7091	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin )
134	127, 132, 133	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin )
135		f1of 5568	. . . . . . 7 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
136	1, 135	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
137	136, 132	fexd 5862	. . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
138		f1oeq1 5556	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
139		feq1 5452	. . . . . . . 8 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g : ( M ... N ) --> C <-> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
140	138, 139	bi2anan9r 609	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) <-> ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
141		coeq1 4876	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) )
142		coeq2 4877	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
143	141, 142	sylan9eq 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
144	143	seqeq3d 10664	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) )
145	144	fveq1d 5625	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) )
146		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) )
147	146	seqeq3d 10664	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) )
148	147	fveq1d 5625	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
149	145, 148	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
150	140, 149	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) <-> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
151	150	spc2gv 2894	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin /\ F e. _V ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
152	134, 137, 151	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
153	123, 152	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
154	1, 3, 153	mp2and 433	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
155		fveq2 5623	. . . . 5 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
156	136	ffvelcdmda 5763	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
157	155	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( G ` x ) e. C <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. C ) )
158	124	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( G ` x ) e. C )
159	157, 158, 156	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. C )
160	125, 155, 156, 159	fvmptd3 5721	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
161		fvco3 5698	. . . . 5 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
162	136, 161	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
163		seqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
164	160, 162, 163	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( H ` k ) )
165	134	elexd 2813	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. _V )
166		coexg 5269	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) e. _V )
167	165, 137, 166	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) e. _V )
168		seqf1og.h	. . 3 |- ( ph -> H e. X )
169	4, 164, 72, 167, 168	seqfveqg 10687	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
170		fveq2 5623	. . . 4 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
171		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
172	170	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) e. C <-> ( G ` k ) e. C ) )
173	172, 158, 171	rspcdva 2912	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. C )
174	125, 170, 171, 173	fvmptd3 5721	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
175		seqf1og.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
176	4, 174, 72, 134, 175	seqfveqg 10687	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
177	154, 169, 176	3eqtr3d 2270	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   `'ccnv 4715   o. ccom 4720   Fn wfn 5309   -->wf 5310   -1-1-onto->wf1o 5313   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Fincfn 6877   1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   ...cfz 10192   seqcseq 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657

This theorem is referenced by:  gsumfzreidx  13860