Theorem sq11ap 10108

Description: Analogue to sq11 10015 but for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sq11ap	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> A # B ) )

Proof of Theorem sq11ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2sq 10016	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) ) )
2		lt2sq 10016	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( B < A <-> ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) )
3	2	ancoms 264	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B < A <-> ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) )
4	1, 3	orbi12d 742	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A < B \/ B < A ) <-> ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) \/ ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) ) )
5		reaplt 8055	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
6	5	ad2ant2r 493	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
7		simpl 107	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
8	7	resqcld 10100	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
9		simpl 107	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
10	9	resqcld 10100	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
11		reaplt 8055	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( B ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) \/ ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) ) )
12	8, 10, 11	syl2an 283	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) \/ ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) ) )
13	4, 6, 12	3bitr4rd 219	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   e. wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   RRcr 7339   0cc0 7340   < clt 7512   <_ cle 7513   # cap 8048   2c2 8463   ^cexp 9942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943

This theorem is referenced by: (None)