Theorem sq11ap 10465

Description: Analogue to sq11 10372 but for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sq11ap	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> A # B ) )

Proof of Theorem sq11ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2sq 10373	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) ) )
2		lt2sq 10373	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( B < A <-> ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) )
3	2	ancoms 266	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B < A <-> ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) )
4	1, 3	orbi12d 782	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A < B \/ B < A ) <-> ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) \/ ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) ) )
5		reaplt 8357	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
6	5	ad2ant2r 500	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
7		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
8	7	resqcld 10457	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
9		simpl 108	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
10	9	resqcld 10457	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
11		reaplt 8357	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( B ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) \/ ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) ) )
12	8, 10, 11	syl2an 287	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) \/ ( B ^ 2 ) < ( A ^ 2 ) ) ) )
13	4, 6, 12	3bitr4rd 220	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) # ( B ^ 2 ) <-> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627   < clt 7807   <_ cle 7808   # cap 8350   2c2 8778   ^cexp 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226  df-exp 10300

This theorem is referenced by: (None)