Theorem sqrt11 10697

Description: The square root function is one-to-one. Also see sqrt11ap 10696 which would follow easily from this given excluded middle, but which is proved another way without it. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt11	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) = ( sqr ` B ) <-> A = B ) )

Proof of Theorem sqrt11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtcl 10687	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
2		sqrtge0 10691	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
3	1, 2	jca 302	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) )
4		resqrtcl 10687	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
5		sqrtge0 10691	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
6	4, 5	jca 302	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) )
7		sq11 10252	. . 3 |- ( ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> ( sqr ` A ) = ( sqr ` B ) ) )
8	3, 6, 7	syl2an 285	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> ( sqr ` A ) = ( sqr ` B ) ) )
9		resqrtth 10689	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
10		resqrtth 10689	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
11	9, 10	eqeqan12d 2128	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> A = B ) )
12	8, 11	bitr3d 189	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) = ( sqr ` B ) <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   RRcr 7540   0cc0 7541   <_ cle 7719   2c2 8675   ^cexp 10179   sqrcsqrt 10654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-rp 9338  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-rsqrt 10656

This theorem is referenced by:  sqrt00  10698  sqrt11i  10790  sqr11d  10831