Theorem sqrtle 11422

Description: Square root is monotonic. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtle	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) ) )

Proof of Theorem sqrtle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtcl 11415	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
2		sqrtge0 11419	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) )
4		resqrtcl 11415	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
5		sqrtge0 11419	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
6	4, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) )
7		le2sq 10781	. . 3 |- ( ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
8	3, 6, 7	syl2an 289	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
9		resqrtth 11417	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
10		resqrtth 11417	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
11	9, 10	breqan12d 4067	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> A <_ B ) )
12	8, 11	bitr2d 189	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2177   class class class wbr 4051   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   RRcr 7944   0cc0 7945   <_ cle 8128   2c2 9107   ^cexp 10705   sqrcsqrt 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-rp 9796  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-rsqrt 11384

This theorem is referenced by:  absrele  11469  sqrtlei  11522  sqrtled  11557