Theorem sqrtle 11218

Description: Square root is monotonic. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtle	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) ) )

Proof of Theorem sqrtle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtcl 11211	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
2		sqrtge0 11215	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) )
4		resqrtcl 11211	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
5		sqrtge0 11215	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
6	4, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) )
7		le2sq 10723	. . 3 |- ( ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
8	3, 6, 7	syl2an 289	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
9		resqrtth 11213	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
10		resqrtth 11213	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
11	9, 10	breqan12d 4050	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> A <_ B ) )
12	8, 11	bitr2d 189	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( sqr ` A ) <_ ( sqr ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   <_ cle 8079   2c2 9058   ^cexp 10647   sqrcsqrt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-rsqrt 11180

This theorem is referenced by:  absrele  11265  sqrtlei  11318  sqrtled  11353