ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrtmul Unicode version
Theorem sqrtmul 11532
Description: Square root distributes over multiplication. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtmul |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) = ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
Proof of Theorem sqrtmul
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2 simprl 529 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
31, 2remulcld 8165 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
4 mulge0 8754 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
5 resqrtcl 11526 . . 3 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) e. RR )
63, 4, 5syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) e. RR )
7 resqrtcl 11526 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
87adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
9 resqrtcl 11526 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
109adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
118, 10remulcld 8165 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) e. RR )
12 sqrtge0 11530 . . 3 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( A x. B ) ) )
133, 4, 12syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( A x. B ) ) )
14 sqrtge0 11530 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
1514adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
16 sqrtge0 11530 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
1716adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
188, 10, 15, 17mulge0d 8756 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
19 resqrtth 11528 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
20 resqrtth 11528 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
2119, 20oveqan12d 6013 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) = ( A x. B ) )
228recnd 8163 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` A ) e. CC )
2310recnd 8163 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` B ) e. CC )
2422, 23sqmuld 10894 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
25 resqrtth 11528 . . . 4 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) )
263, 4, 25syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) )
2721, 24, 263eqtr4rd 2273 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) ^ 2 ) )
286, 11, 13, 18, 27sq11d 10915 1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) = ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   RRcr 7986   0cc0 7987   x. cmul 7992   <_ cle 8170   2c2 9149   ^cexp 10747   sqrcsqrt 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-rsqrt 11495
This theorem is referenced by:  sqrtdiv  11539  absmul  11566  sqrtmuli  11630  sqrtmuld  11666
  Copyright terms: Public domain W3C validator