ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrtmul Unicode version
Theorem sqrtmul 10583
Description: Square root distributes over multiplication. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtmul |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) = ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
Proof of Theorem sqrtmul
StepHypRef Expression
1 simpll 497 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2 simprl 499 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
31, 2remulcld 7615 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
4 mulge0 8193 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
5 resqrtcl 10577 . . 3 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) e. RR )
63, 4, 5syl2anc 404 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) e. RR )
7 resqrtcl 10577 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
87adantr 271 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
9 resqrtcl 10577 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
109adantl 272 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
118, 10remulcld 7615 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) e. RR )
12 sqrtge0 10581 . . 3 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( A x. B ) ) )
133, 4, 12syl2anc 404 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( A x. B ) ) )
14 sqrtge0 10581 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
1514adantr 271 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
16 sqrtge0 10581 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
1716adantl 272 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
188, 10, 15, 17mulge0d 8195 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
19 resqrtth 10579 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
20 resqrtth 10579 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
2119, 20oveqan12d 5709 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) = ( A x. B ) )
228recnd 7613 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` A ) e. CC )
2310recnd 7613 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` B ) e. CC )
2422, 23sqmuld 10213 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
25 resqrtth 10579 . . . 4 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) )
263, 4, 25syl2anc 404 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) )
2721, 24, 263eqtr4rd 2138 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) ^ 2 ) )
286, 11, 13, 18, 27sq11d 10234 1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) = ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   x. cmul 7452   <_ cle 7620   2c2 8571   ^cexp 10069   sqrcsqrt 10544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-seqfrec 10001  df-exp 10070  df-rsqrt 10546
This theorem is referenced by:  sqrtdiv  10590  absmul  10617  sqrtmuli  10681  sqrtmuld  10717
  Copyright terms: Public domain W3C validator