ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrtmul Unicode version
Theorem sqrtmul 11656
Description: Square root distributes over multiplication. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtmul |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) = ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
Proof of Theorem sqrtmul
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
2 simprl 531 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
31, 2remulcld 8253 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
4 mulge0 8842 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
5 resqrtcl 11650 . . 3 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) e. RR )
63, 4, 5syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) e. RR )
7 resqrtcl 11650 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
87adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
9 resqrtcl 11650 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
109adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` B ) e. RR )
118, 10remulcld 8253 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) e. RR )
12 sqrtge0 11654 . . 3 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( A x. B ) ) )
133, 4, 12syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( A x. B ) ) )
14 sqrtge0 11654 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
1514adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
16 sqrtge0 11654 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
1716adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
188, 10, 15, 17mulge0d 8844 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
19 resqrtth 11652 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
20 resqrtth 11652 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
2119, 20oveqan12d 6047 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) = ( A x. B ) )
228recnd 8251 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` A ) e. CC )
2310recnd 8251 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` B ) e. CC )
2422, 23sqmuld 10991 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
25 resqrtth 11652 . . . 4 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) )
263, 4, 25syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( A x. B ) )
2721, 24, 263eqtr4rd 2275 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqr ` ( A x. B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) ^ 2 ) )
286, 11, 13, 18, 27sq11d 11012 1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( sqr ` ( A x. B ) ) = ( ( sqr ` A ) x. ( sqr ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   x. cmul 8080   <_ cle 8258   2c2 9237   ^cexp 10844   sqrcsqrt 11617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-rp 9932  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-rsqrt 11619
This theorem is referenced by:  sqrtdiv  11663  absmul  11690  sqrtmuli  11754  sqrtmuld  11790
  Copyright terms: Public domain W3C validator