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Theorem modmulconst 11561
Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmulconst |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) ) )
Proof of Theorem modmulconst
StepHypRef Expression
1 nnz 9097 . . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
21adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> M e. ZZ )
3 zsubcl 9119 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
433adant3 1002 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( A - B ) e. ZZ )
54adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( A - B ) e. ZZ )
6 nnz 9097 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. ZZ )
7 nnne0 8772 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C =/= 0 )
86, 7jca 304 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
983ad2ant3 1005 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
109adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
11 dvdscmulr 11558 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ /\ ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) <-> M || ( A - B ) ) )
1211bicomd 140 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ /\ ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) ) )
132, 5, 10, 12syl3anc 1217 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) ) )
14 zcn 9083 . . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
15 zcn 9083 . . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
16 nncn 8752 . . . . . . . 8 |- ( C e. NN -> C e. CC )
1714, 15, 163anim123i 1167 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) )
18 3anrot 968 . . . . . . 7 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) <-> ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) )
1917, 18sylibr 133 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) )
20 subdi 8171 . . . . . 6 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
2221adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
2322breq2d 3949 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
2413, 23bitrd 187 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
25 simpr 109 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
26 simp1 982 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2726adantr 274 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> A e. ZZ )
28 simp2 983 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> B e. ZZ )
2928adantr 274 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> B e. ZZ )
30 moddvds 11538 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> M || ( A - B ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1217 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> M || ( A - B ) ) )
32 simpl3 987 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> C e. NN )
3332, 25nnmulcld 8793 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. M ) e. NN )
3463ad2ant3 1005 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> C e. ZZ )
3534, 26zmulcld 9203 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. A ) e. ZZ )
3635adantr 274 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. A ) e. ZZ )
3734, 28zmulcld 9203 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. B ) e. ZZ )
3837adantr 274 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. B ) e. ZZ )
39 moddvds 11538 . . 3 |- ( ( ( C x. M ) e. NN /\ ( C x. A ) e. ZZ /\ ( C x. B ) e. ZZ ) -> ( ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
4033, 36, 38, 39syl3anc 1217 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
4124, 31, 403bitr4d 219 1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   x. cmul 7649   - cmin 7957   NNcn 8744   ZZcz 9078   mod cmo 10126   || cdvds 11529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074  df-mod 10127  df-dvds 11530
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