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Theorem modmulconst 12178
Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmulconst |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) ) )
Proof of Theorem modmulconst
StepHypRef Expression
1 nnz 9398 . . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
21adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> M e. ZZ )
3 zsubcl 9420 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
433adant3 1020 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( A - B ) e. ZZ )
54adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( A - B ) e. ZZ )
6 nnz 9398 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. ZZ )
7 nnne0 9071 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C =/= 0 )
86, 7jca 306 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
983ad2ant3 1023 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
109adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
11 dvdscmulr 12175 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ /\ ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) <-> M || ( A - B ) ) )
1211bicomd 141 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ /\ ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) ) )
132, 5, 10, 12syl3anc 1250 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) ) )
14 zcn 9384 . . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
15 zcn 9384 . . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
16 nncn 9051 . . . . . . . 8 |- ( C e. NN -> C e. CC )
1714, 15, 163anim123i 1187 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) )
18 3anrot 986 . . . . . . 7 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) <-> ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) )
1917, 18sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) )
20 subdi 8464 . . . . . 6 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
2221adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
2322breq2d 4059 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
2413, 23bitrd 188 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
25 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
26 simp1 1000 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> A e. ZZ )
28 simp2 1001 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> B e. ZZ )
2928adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> B e. ZZ )
30 moddvds 12154 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> M || ( A - B ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1250 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> M || ( A - B ) ) )
32 simpl3 1005 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> C e. NN )
3332, 25nnmulcld 9092 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. M ) e. NN )
3463ad2ant3 1023 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> C e. ZZ )
3534, 26zmulcld 9508 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. A ) e. ZZ )
3635adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. A ) e. ZZ )
3734, 28zmulcld 9508 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. B ) e. ZZ )
3837adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. B ) e. ZZ )
39 moddvds 12154 . . 3 |- ( ( ( C x. M ) e. NN /\ ( C x. A ) e. ZZ /\ ( C x. B ) e. ZZ ) -> ( ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
4033, 36, 38, 39syl3anc 1250 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
4124, 31, 403bitr4d 220 1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951   CCcc 7930   0cc0 7932   x. cmul 7937   - cmin 8250   NNcn 9043   ZZcz 9379   mod cmo 10474   || cdvds 12142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475  df-dvds 12143
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