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Theorem modmulconst 11525
Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmulconst  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( ( C  x.  A )  mod  ( C  x.  M
) )  =  ( ( C  x.  B
)  mod  ( C  x.  M ) ) ) )

Proof of Theorem modmulconst
StepHypRef Expression
1 nnz 9073 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
3 zsubcl 9095 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
433adant3 1001 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
54adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
6 nnz 9073 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  ZZ )
7 nnne0 8748 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  =/=  0 )
86, 7jca 304 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  C  =/=  0 ) )
983ad2ant3 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  C  =/=  0 ) )
109adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  C  =/=  0 ) )
11 dvdscmulr 11522 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( C  e.  ZZ  /\  C  =/=  0 ) )  ->  ( ( C  x.  M )  ||  ( C  x.  ( A  -  B )
)  <->  M  ||  ( A  -  B ) ) )
1211bicomd 140 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( C  e.  ZZ  /\  C  =/=  0 ) )  ->  ( M  ||  ( A  -  B
)  <->  ( C  x.  M )  ||  ( C  x.  ( A  -  B ) ) ) )
132, 5, 10, 12syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  ||  ( A  -  B
)  <->  ( C  x.  M )  ||  ( C  x.  ( A  -  B ) ) ) )
14 zcn 9059 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
15 zcn 9059 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
16 nncn 8728 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
1714, 15, 163anim123i 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC ) )
18 3anrot 967 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  <->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC ) )
1917, 18sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
20 subdi 8147 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( A  -  B ) )  =  ( ( C  x.  A )  -  ( C  x.  B )
) )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( A  -  B ) )  =  ( ( C  x.  A )  -  ( C  x.  B )
) )
2221adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( A  -  B
) )  =  ( ( C  x.  A
)  -  ( C  x.  B ) ) )
2322breq2d 3941 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( C  x.  M )  ||  ( C  x.  ( A  -  B )
)  <->  ( C  x.  M )  ||  (
( C  x.  A
)  -  ( C  x.  B ) ) ) )
2413, 23bitrd 187 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  ||  ( A  -  B
)  <->  ( C  x.  M )  ||  (
( C  x.  A
)  -  ( C  x.  B ) ) ) )
25 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
26 simp1 981 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
2726adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
28 simp2 982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
2928adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
30 moddvds 11502 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  M  ||  ( A  -  B )
) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  M  ||  ( A  -  B ) ) )
32 simpl3 986 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  C  e.  NN )
3332, 25nnmulcld 8769 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( C  x.  M )  e.  NN )
3463ad2ant3 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
3534, 26zmulcld 9179 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  x.  A )  e.  ZZ )
3635adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( C  x.  A )  e.  ZZ )
3734, 28zmulcld 9179 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  x.  B )  e.  ZZ )
3837adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( C  x.  B )  e.  ZZ )
39 moddvds 11502 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  M
)  e.  NN  /\  ( C  x.  A
)  e.  ZZ  /\  ( C  x.  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  x.  A )  mod  ( C  x.  M ) )  =  ( ( C  x.  B )  mod  ( C  x.  M )
)  <->  ( C  x.  M )  ||  (
( C  x.  A
)  -  ( C  x.  B ) ) ) )
4033, 36, 38, 39syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( C  x.  A )  mod  ( C  x.  M ) )  =  ( ( C  x.  B )  mod  ( C  x.  M )
)  <->  ( C  x.  M )  ||  (
( C  x.  A
)  -  ( C  x.  B ) ) ) )
4124, 31, 403bitr4d 219 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( ( C  x.  A )  mod  ( C  x.  M
) )  =  ( ( C  x.  B
)  mod  ( C  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620    x. cmul 7625    - cmin 7933   NNcn 8720   ZZcz 9054    mod cmo 10095    || cdvds 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-fl 10043  df-mod 10096  df-dvds 11494
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