ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodnegmod GIF version

Theorem summodnegmod 11535
Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
summodnegmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁)))

Proof of Theorem summodnegmod
StepHypRef Expression
1 simp3 983 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simp1 981 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 znegcl 9097 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1003 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
5 moddvds 11513 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1216 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
7 zcn 9071 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 zcn 9071 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8anim12i 336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1093adant3 1001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
11 subneg 8023 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1211eqcomd 2145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 − -𝐵))
1310, 12syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 − -𝐵))
1413breq2d 3941 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
15 zaddcl 9106 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16153adant3 1001 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
17 dvdsval3 11508 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0))
181, 16, 17syl2anc 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0))
196, 14, 183bitr2rd 216 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7630  0cc0 7632   + caddc 7635  cmin 7945  -cneg 7946  cn 8732  cz 9066   mod cmo 10107  cdvds 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-mod 10108  df-dvds 11505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator