Theorem umgredgnlp 16307

Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgredgnlp.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgredgnlp	|- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. E. v C = { v } )

Distinct variable groups:   v, C   v, E   v, G

Proof of Theorem umgredgnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 7152	. . . . . 6 |- -. 1o ~~ 2o
2		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
3	2	ensn1 7073	. . . . . . . 8 |- { v } ~~ 1o
4	3	ensymi 7059	. . . . . . 7 |- 1o ~~ { v }
5		entr 7061	. . . . . . 7 |- ( ( 1o ~~ { v } /\ { v } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
6	4, 5	mpan 428	. . . . . 6 |- ( { v } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o )
7	1, 6	mto 672	. . . . 5 |- -. { v } ~~ 2o
8		breq1 4128	. . . . 5 |- ( C = { v } -> ( C ~~ 2o <-> { v } ~~ 2o ) )
9	7, 8	mtbiri 686	. . . 4 |- ( C = { v } -> -. C ~~ 2o )
10	9	intnand 943	. . 3 |- ( C = { v } -> -. ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
11		umgredgnlp.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
12	11	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( C e. E <-> C e. (Edg ` G ) )
13		edgumgren 16297	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. (Edg ` G ) ) -> ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
14	12, 13	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
15	10, 14	nsyl3 635	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. C = { v } )
16	15	nexdv 1996	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. E. v C = { v } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   ~Pcpw 3685   {csn 3705   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ~~ cen 7010  Vtxcvtx 16167  Edgcedg 16212  UMGraphcumgr 16247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-edg 16213  df-umgren 16249

This theorem is referenced by: (None)