Theorem umgredgnlp 16002

Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgredgnlp.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgredgnlp	|- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. E. v C = { v } )

Distinct variable groups:   v, C   v, E   v, G

Proof of Theorem umgredgnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 7046	. . . . . 6 |- -. 1o ~~ 2o
2		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
3	2	ensn1 6969	. . . . . . . 8 |- { v } ~~ 1o
4	3	ensymi 6955	. . . . . . 7 |- 1o ~~ { v }
5		entr 6957	. . . . . . 7 |- ( ( 1o ~~ { v } /\ { v } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
6	4, 5	mpan 424	. . . . . 6 |- ( { v } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o )
7	1, 6	mto 668	. . . . 5 |- -. { v } ~~ 2o
8		breq1 4091	. . . . 5 |- ( C = { v } -> ( C ~~ 2o <-> { v } ~~ 2o ) )
9	7, 8	mtbiri 681	. . . 4 |- ( C = { v } -> -. C ~~ 2o )
10	9	intnand 938	. . 3 |- ( C = { v } -> -. ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
11		umgredgnlp.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
12	11	eleq2i 2298	. . . 4 |- ( C e. E <-> C e. (Edg ` G ) )
13		edgumgren 15992	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. (Edg ` G ) ) -> ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
14	12, 13	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
15	10, 14	nsyl3 631	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. C = { v } )
16	15	nexdv 1989	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. E. v C = { v } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   ~Pcpw 3652   {csn 3669   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ~~ cen 6906  Vtxcvtx 15862  Edgcedg 15907  UMGraphcumgr 15942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-umgren 15944

This theorem is referenced by: (None)