Theorem umgredgnlp 15965

Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgredgnlp.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgredgnlp	|- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. E. v C = { v } )

Distinct variable groups:   v, C   v, E   v, G

Proof of Theorem umgredgnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 7030	. . . . . 6 |- -. 1o ~~ 2o
2		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
3	2	ensn1 6956	. . . . . . . 8 |- { v } ~~ 1o
4	3	ensymi 6942	. . . . . . 7 |- 1o ~~ { v }
5		entr 6944	. . . . . . 7 |- ( ( 1o ~~ { v } /\ { v } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
6	4, 5	mpan 424	. . . . . 6 |- ( { v } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o )
7	1, 6	mto 666	. . . . 5 |- -. { v } ~~ 2o
8		breq1 4086	. . . . 5 |- ( C = { v } -> ( C ~~ 2o <-> { v } ~~ 2o ) )
9	7, 8	mtbiri 679	. . . 4 |- ( C = { v } -> -. C ~~ 2o )
10	9	intnand 936	. . 3 |- ( C = { v } -> -. ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
11		umgredgnlp.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
12	11	eleq2i 2296	. . . 4 |- ( C e. E <-> C e. (Edg ` G ) )
13		edgumgren 15955	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. (Edg ` G ) ) -> ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
14	12, 13	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> ( C e. ~P (Vtx ` G ) /\ C ~~ 2o ) )
15	10, 14	nsyl3 629	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. C = { v } )
16	15	nexdv 1987	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ C e. E ) -> -. E. v C = { v } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   ~Pcpw 3649   {csn 3666   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   1oc1o 6561   2oc2o 6562   ~~ cen 6893  Vtxcvtx 15828  Edgcedg 15873  UMGraphcumgr 15907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-edg 15874  df-umgren 15909

This theorem is referenced by: (None)