Theorem unitssd 13675

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
unitssd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem unitssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		unitcld.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 13674	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	ssrdv 3190	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  Basecbs 12688  SRingcsrg 13529  Unitcui 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-mgp 13487  df-srg 13530  df-dvdsr 13655  df-unit 13656

This theorem is referenced by:  unitgrpbasd  13681  unitgrp  13682  unitabl  13683  unitgrpid  13684  unitsubm  13685  unitlinv  13692  unitrinv  13693  dvrfvald  13699  rdivmuldivd  13710  invrpropdg  13715  rhmunitinv  13744  subrgugrp  13806