Theorem unitssd 14126

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
unitssd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem unitssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		unitcld.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 14125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	ssrdv 3233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  Basecbs 13084  SRingcsrg 13979  Unitcui 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-mgp 13937  df-srg 13980  df-dvdsr 14105  df-unit 14106

This theorem is referenced by:  unitgrpbasd  14132  unitgrp  14133  unitabl  14134  unitgrpid  14135  unitsubm  14136  unitlinv  14143  unitrinv  14144  dvrfvald  14150  rdivmuldivd  14161  invrpropdg  14166  rhmunitinv  14195  subrgugrp  14257