Theorem unitssd 13605

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
unitssd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem unitssd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		unitcld.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 13604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	ssrdv 3185	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153  ‘cfv 5254  Basecbs 12618  SRingcsrg 13459  Unitcui 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mgp 13417  df-srg 13460  df-dvdsr 13585  df-unit 13586

This theorem is referenced by:  unitgrpbasd  13611  unitgrp  13612  unitabl  13613  unitgrpid  13614  unitsubm  13615  unitlinv  13622  unitrinv  13623  dvrfvald  13629  rdivmuldivd  13640  invrpropdg  13645  rhmunitinv  13674  subrgugrp  13736