Theorem upgr1een 15978

Description: A graph with one non-loop edge is a pseudograph. Variation of upgr1edc 15975 for a different way of specifying a graph with one edge. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1een.k	|- ( ph -> K e. X )
upgr1een.v	|- ( ph -> V e. Y )
upgr1een.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
upgr1een.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )

Assertion

Ref	Expression
upgr1een	|- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )

Proof of Theorem upgr1een

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1een.2o	. . 3 |- ( ph -> E ~~ 2o )
2		en2 6998	. . 3 |- ( E ~~ 2o -> E. u E. v E = { u , v } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. u E. v E = { u , v } )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. )
5		upgr1een.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. X )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> K e. X )
7		upgr1een.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. ~P V )
8	7	elpwid 3663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ V )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> E C_ V )
10		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
11	10	prid1 3777	. . . . . . . 8 |- u e. { u , v }
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> E = { u , v } )
13	11, 12	eleqtrrid 2321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u e. E )
14	9, 13	sseldd 3228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u e. V )
15		upgr1een.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Y )
16		opexg 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. X /\ E e. ~P V ) -> <. K , E >. e. _V )
17	5, 7, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
18		snexg 4274	. . . . . . . . 9 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
20		opvtxfv 15876	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
21	15, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
23	14, 22	eleqtrrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u e. (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
24		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
25	24	prid2 3778	. . . . . . . 8 |- v e. { u , v }
26	25, 12	eleqtrrid 2321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> v e. E )
27	9, 26	sseldd 3228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> v e. V )
28	27, 22	eleqtrrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> v e. (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
29	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> E ~~ 2o )
30	12, 29	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> { u , v } ~~ 2o )
31		pr2ne 7397	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ v e. _V ) -> ( { u , v } ~~ 2o <-> u =/= v ) )
32	31	el2v 2808	. . . . . . . 8 |- ( { u , v } ~~ 2o <-> u =/= v )
33	30, 32	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u =/= v )
34	33	olcd 741	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> ( u = v \/ u =/= v ) )
35		dcne 2413	. . . . . 6 |- (DECID u = v <-> ( u = v \/ u =/= v ) )
36	34, 35	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> DECID u = v )
37		opiedgfv 15879	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
38	15, 19, 37	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
39	38	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
40	12	opeq2d 3869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> <. K , E >. = <. K , { u , v } >. )
41	40	sneqd 3682	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> { <. K , E >. } = { <. K , { u , v } >. } )
42	39, 41	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , { u , v } >. } )
43	4, 6, 23, 28, 36, 42	upgr1edc 15975	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
44	43	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( E = { u , v } -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph ) )
45	44	exlimdvv 1946	. 2 |- ( ph -> ( E. u E. v E = { u , v } -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph ) )
46	3, 45	mpd 13	1 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   2oc2o 6576   ~~ cen 6907  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  UPGraphcupgr 15945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-upgren 15947

This theorem is referenced by:  umgr1een  15979  p1evtxdeqfilem  16165  p1evtxdeqfi  16166