Theorem upgr1een 16570

Description: A graph with one non-loop edge is a pseudograph. Variation of upgr1edc 16567 for a different way of specifying a graph with one edge. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1een.k	|- ( ph -> K e. X )
upgr1een.v	|- ( ph -> V e. Y )
upgr1een.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
upgr1een.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )

Assertion

Ref	Expression
upgr1een	|- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )

Proof of Theorem upgr1een

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1een.2o	. . 3 |- ( ph -> E ~~ 2o )
2		en2 7116	. . 3 |- ( E ~~ 2o -> E. u E. v E = { u , v } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. u E. v E = { u , v } )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. )
5		upgr1een.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. X )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> K e. X )
7		upgr1een.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. ~P V )
8	7	elpwid 3700	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ V )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> E C_ V )
10		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
11	10	prid1 3817	. . . . . . . 8 |- u e. { u , v }
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> E = { u , v } )
13	11, 12	eleqtrrid 2328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u e. E )
14	9, 13	sseldd 3249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u e. V )
15		upgr1een.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Y )
16		opexg 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. X /\ E e. ~P V ) -> <. K , E >. e. _V )
17	5, 7, 16	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
18		snexg 4323	. . . . . . . . 9 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
20		opvtxfv 16468	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
21	15, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
23	14, 22	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u e. (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
24		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
25	24	prid2 3818	. . . . . . . 8 |- v e. { u , v }
26	25, 12	eleqtrrid 2328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> v e. E )
27	9, 26	sseldd 3249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> v e. V )
28	27, 22	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> v e. (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
29	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> E ~~ 2o )
30	12, 29	eqbrtrrd 4155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> { u , v } ~~ 2o )
31		pr2ne 7544	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ v e. _V ) -> ( { u , v } ~~ 2o <-> u =/= v ) )
32	31	el2v 2827	. . . . . . . 8 |- ( { u , v } ~~ 2o <-> u =/= v )
33	30, 32	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> u =/= v )
34	33	olcd 746	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> ( u = v \/ u =/= v ) )
35		dcne 2431	. . . . . 6 |- (DECID u = v <-> ( u = v \/ u =/= v ) )
36	34, 35	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> DECID u = v )
37		opiedgfv 16471	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
38	15, 19, 37	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
39	38	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
40	12	opeq2d 3911	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> <. K , E >. = <. K , { u , v } >. )
41	40	sneqd 3722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> { <. K , E >. } = { <. K , { u , v } >. } )
42	39, 41	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , { u , v } >. } )
43	4, 6, 23, 28, 36, 42	upgr1edc 16567	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = { u , v } ) -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
44	43	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( E = { u , v } -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph ) )
45	44	exlimdvv 1953	. 2 |- ( ph -> ( E. u E. v E = { u , v } -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph ) )
46	3, 45	mpd 13	1 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   2oc2o 6685   ~~ cen 7024  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539

This theorem is used by:  umgr1een  16571  p1evtxdeqfilem  16757  p1evtxdeqfi  16758