Theorem upgr1eopdc 16230

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1eopdc.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
upgr1eopdc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
upgr1eopdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
upgr1eopdc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
upgr1eopdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
upgr1eopdc	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1eopdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2		upgr1eopdc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		upgr1eopdc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		upgr1eopdc.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
5		upgr1eopdc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6		prexg 4330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
8		opexg 4349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
10		snexg 4302	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 16129	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
14	3, 13	eleqtrrd 2314	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
15	5, 13	eleqtrrd 2314	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16		upgr1eopdc.dc	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
17		opiedgfv 16132	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18	4, 11, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
19	1, 2, 14, 15, 16, 18	upgr1edc 16228	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {csn 3694  {cpr 3695  ⟨cop 3697  ‘cfv 5357  Vtxcvtx 16119  iEdgciedg 16120  UPGraphcupgr 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16112  df-vtx 16121  df-iedg 16122  df-upgren 16200

This theorem is referenced by: (None)