Theorem upgr1eopdc 15908

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1eopdc.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
upgr1eopdc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
upgr1eopdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
upgr1eopdc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
upgr1eopdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
upgr1eopdc	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1eopdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2		upgr1eopdc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		upgr1eopdc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		upgr1eopdc.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
5		upgr1eopdc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6		prexg 4294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
8		opexg 4313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
10		snexg 4267	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 15808	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
14	3, 13	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
15	5, 13	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16		upgr1eopdc.dc	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
17		opiedgfv 15811	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18	4, 11, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
19	1, 2, 14, 15, 16, 18	upgr1edc 15906	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669  ‘cfv 5314  Vtxcvtx 15798  iEdgciedg 15799  UPGraphcupgr 15876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-sub 8307  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-dec 9567  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-edgf 15791  df-vtx 15800  df-iedg 15801  df-upgren 15878

This theorem is referenced by: (None)