Theorem upgr1eopdc 15766

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1eopdc.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
upgr1eopdc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
upgr1eopdc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
upgr1eopdc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
upgr1eopdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
upgr1eopdc	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1eopdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2		upgr1eopdc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		upgr1eopdc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		upgr1eopdc.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑊)
5		upgr1eopdc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6		prexg 4260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
8		opexg 4277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V)
10		snexg 4233	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ ∈ V → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 15671	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
14	3, 13	eleqtrrd 2286	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
15	5, 13	eleqtrrd 2286	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16		upgr1eopdc.dc	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
17		opiedgfv 15674	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18	4, 11, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
19	1, 2, 14, 15, 16, 18	upgr1edc 15764	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  {csn 3635  {cpr 3636  ⟨cop 3638  ‘cfv 5277  Vtxcvtx 15661  iEdgciedg 15662  UPGraphcupgr 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-1o 6512  df-2o 6513  df-er 6630  df-en 6838  df-sub 8258  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-dec 9518  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-edgf 15654  df-vtx 15663  df-iedg 15664  df-upgren 15739

This theorem is referenced by: (None)