Theorem usgredgreu 16022

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg3.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgredgreu	|- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E /\ Y e. ( E ` X ) ) -> E! y e. V ( E ` X ) = { Y , y } )

Distinct variable groups:   y, E   y, G   y, V   y, X   y, Y

Proof of Theorem usgredgreu

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg3.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		usgredg3.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
3	1, 2	usgredg4 16021	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E /\ Y e. ( E ` X ) ) -> E. y e. V ( E ` X ) = { Y , y } )
4		eqtr2 2248	. . . . 5 |- ( ( ( E ` X ) = { Y , y } /\ ( E ` X ) = { Y , x } ) -> { Y , y } = { Y , x } )
5		vex 2802	. . . . . 6 |- y e. _V
6		vex 2802	. . . . . 6 |- x e. _V
7	5, 6	preqr2 3847	. . . . 5 |- ( { Y , y } = { Y , x } -> y = x )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( E ` X ) = { Y , y } /\ ( E ` X ) = { Y , x } ) -> y = x )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E /\ Y e. ( E ` X ) ) /\ ( y e. V /\ x e. V ) ) -> ( ( ( E ` X ) = { Y , y } /\ ( E ` X ) = { Y , x } ) -> y = x ) )
10	9	ralrimivva 2612	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E /\ Y e. ( E ` X ) ) -> A. y e. V A. x e. V ( ( ( E ` X ) = { Y , y } /\ ( E ` X ) = { Y , x } ) -> y = x ) )
11		preq2 3744	. . . 4 |- ( y = x -> { Y , y } = { Y , x } )
12	11	eqeq2d 2241	. . 3 |- ( y = x -> ( ( E ` X ) = { Y , y } <-> ( E ` X ) = { Y , x } ) )
13	12	reu4 2997	. 2 |- ( E! y e. V ( E ` X ) = { Y , y } <-> ( E. y e. V ( E ` X ) = { Y , y } /\ A. y e. V A. x e. V ( ( ( E ` X ) = { Y , y } /\ ( E ` X ) = { Y , x } ) -> y = x ) ) )
14	3, 10, 13	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E /\ Y e. ( E ` X ) ) -> E! y e. V ( E ` X ) = { Y , y } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   {cpr 3667   dom cdm 4719   ` cfv 5318  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  USGraphcusgr 15960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-edg 15867  df-umgren 15902  df-usgren 15962

This theorem is referenced by:  usgredg2vlem1  16028  usgredg2vlem2  16029