Theorem usgredgreu 16022

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg3.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgreu	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌

Proof of Theorem usgredgreu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		usgredg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	usgredg4 16021	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦})
4		eqtr2 2248	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
5		vex 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		vex 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	preqr2 3847	. . . . 5 ⊢ ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
10	9	ralrimivva 2612	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
11		preq2 3744	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
12	11	eqeq2d 2241	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ↔ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}))
13	12	reu4 2997	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦} ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
14	3, 10, 13	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ (𝐸‘𝑋)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑋) = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510  {cpr 3667  dom cdm 4719  ‘cfv 5318  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  USGraphcusgr 15960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-edg 15867  df-umgren 15902  df-usgren 15962

This theorem is referenced by:  usgredg2vlem1  16028  usgredg2vlem2  16029