Theorem usgredg2vlem2 16267

Description: Lemma 2 for usgredg2v 16268. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vlem2	|- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   x, Y, z   z, I

Allowed substitution hints:   A( x, z)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2vlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( E ` x ) = ( E ` Y ) )
2	1	eleq2d 2304	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( N e. ( E ` x ) <-> N e. ( E ` Y ) ) )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	2, 3	elrab2 2978	. . . 4 |- ( Y e. A <-> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
5	4	biimpi 120	. . 3 |- ( Y e. A -> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
6		usgredg2v.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
7		usgredg2v.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
8	6, 7	usgredgreu 16260	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
9	8	3expb 1231	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
10	6, 7, 3	usgredg2vlem1 16266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
11	10	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
12	11	ad4ant23 515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
13		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> I e. V )
16		prcom 3769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { N , z } = { z , N }
17	16	eqeq2i 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` Y ) = { N , z } <-> ( E ` Y ) = { z , N } )
18	17	reubii 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } <-> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
20	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
21		preq1 3770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = I -> { z , N } = { I , N } )
22	21	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = I -> ( ( E ` Y ) = { z , N } <-> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
23	22	riota2 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
24	15, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
25	24	exbiri 382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
26	25	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
27	26	eqcoms 2237	. . . . . . . 8 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
28	27	pm2.43i 49	. . . . . . 7 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
29	28	expdcom 1488	. . . . . 6 |- ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
30	9, 29	mpancom 422	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
31	30	expcom 116	. . . 4 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( G e. USGraph -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
32	31	com23 78	. . 3 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
33	5, 32	mpcom 36	. 2 |- ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E!wreu 2524   {crab 2526   {cpr 3692   dom cdm 4751   ` cfv 5354   iota_crio 6004  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  USGraphcusgr 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-edg 16102  df-umgren 16138  df-usgren 16200

This theorem is referenced by:  usgredg2v  16268