Theorem usgredg2vlem2 16029

Description: Lemma 2 for usgredg2v 16030. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vlem2	|- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   x, Y, z   z, I

Allowed substitution hints:   A( x, z)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2vlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( E ` x ) = ( E ` Y ) )
2	1	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( N e. ( E ` x ) <-> N e. ( E ` Y ) ) )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	2, 3	elrab2 2962	. . . 4 |- ( Y e. A <-> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
5	4	biimpi 120	. . 3 |- ( Y e. A -> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
6		usgredg2v.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
7		usgredg2v.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
8	6, 7	usgredgreu 16022	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
9	8	3expb 1228	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
10	6, 7, 3	usgredg2vlem1 16028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
11	10	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
12	11	ad4ant23 515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
13		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> I e. V )
16		prcom 3742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { N , z } = { z , N }
17	16	eqeq2i 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` Y ) = { N , z } <-> ( E ` Y ) = { z , N } )
18	17	reubii 2718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } <-> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
20	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
21		preq1 3743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = I -> { z , N } = { I , N } )
22	21	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = I -> ( ( E ` Y ) = { z , N } <-> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
23	22	riota2 5984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
24	15, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
25	24	exbiri 382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
26	25	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
27	26	eqcoms 2232	. . . . . . . 8 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
28	27	pm2.43i 49	. . . . . . 7 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
29	28	expdcom 1485	. . . . . 6 |- ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
30	9, 29	mpancom 422	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
31	30	expcom 116	. . . 4 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( G e. USGraph -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
32	31	com23 78	. . 3 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
33	5, 32	mpcom 36	. 2 |- ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   {crab 2512   {cpr 3667   dom cdm 4719   ` cfv 5318   iota_crio 5959  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  USGraphcusgr 15960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-edg 15867  df-umgren 15902  df-usgren 15962

This theorem is referenced by:  usgredg2v  16030