Theorem usgredg2vlem2 16447

Description: Lemma 2 for usgredg2v 16448. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vlem2	|- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   x, Y, z   z, I

Allowed substitution hints:   A( x, z)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2vlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( E ` x ) = ( E ` Y ) )
2	1	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( N e. ( E ` x ) <-> N e. ( E ` Y ) ) )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	2, 3	elrab2 2985	. . . 4 |- ( Y e. A <-> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
5	4	biimpi 120	. . 3 |- ( Y e. A -> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
6		usgredg2v.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
7		usgredg2v.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
8	6, 7	usgredgreu 16440	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
9	8	3expb 1235	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
10	6, 7, 3	usgredg2vlem1 16446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
11	10	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
12	11	ad4ant23 519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
13		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> I e. V )
16		prcom 3786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { N , z } = { z , N }
17	16	eqeq2i 2249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` Y ) = { N , z } <-> ( E ` Y ) = { z , N } )
18	17	reubii 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } <-> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
20	19	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
21		preq1 3787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = I -> { z , N } = { I , N } )
22	21	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = I -> ( ( E ` Y ) = { z , N } <-> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
23	22	riota2 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
24	15, 20, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
25	24	exbiri 382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
26	25	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
27	26	eqcoms 2241	. . . . . . . 8 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
28	27	pm2.43i 49	. . . . . . 7 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
29	28	expdcom 1492	. . . . . 6 |- ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
30	9, 29	mpancom 426	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
31	30	expcom 116	. . . 4 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( G e. USGraph -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
32	31	com23 78	. . 3 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
33	5, 32	mpcom 36	. 2 |- ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   {crab 2532   {cpr 3709   dom cdm 4772   ` cfv 5375   iota_crio 6031  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  USGraphcusgr 16378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-umgren 16318  df-usgren 16380

This theorem is referenced by:  usgredg2v  16448