Theorem usgredg2vlem2 16103

Description: Lemma 2 for usgredg2v 16104. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vlem2	|- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   x, Y, z   z, I

Allowed substitution hints:   A( x, z)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2vlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5642	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( E ` x ) = ( E ` Y ) )
2	1	eleq2d 2300	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( N e. ( E ` x ) <-> N e. ( E ` Y ) ) )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	2, 3	elrab2 2964	. . . 4 |- ( Y e. A <-> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
5	4	biimpi 120	. . 3 |- ( Y e. A -> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
6		usgredg2v.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
7		usgredg2v.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
8	6, 7	usgredgreu 16096	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
9	8	3expb 1230	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
10	6, 7, 3	usgredg2vlem1 16102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
11	10	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
12	11	ad4ant23 515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
13		eleq1 2293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> I e. V )
16		prcom 3748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { N , z } = { z , N }
17	16	eqeq2i 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` Y ) = { N , z } <-> ( E ` Y ) = { z , N } )
18	17	reubii 2719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } <-> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
20	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
21		preq1 3749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = I -> { z , N } = { I , N } )
22	21	eqeq2d 2242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = I -> ( ( E ` Y ) = { z , N } <-> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
23	22	riota2 6000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
24	15, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
25	24	exbiri 382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
26	25	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
27	26	eqcoms 2233	. . . . . . . 8 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
28	27	pm2.43i 49	. . . . . . 7 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
29	28	expdcom 1487	. . . . . 6 |- ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
30	9, 29	mpancom 422	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
31	30	expcom 116	. . . 4 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( G e. USGraph -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
32	31	com23 78	. . 3 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
33	5, 32	mpcom 36	. 2 |- ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   E!wreu 2511   {crab 2513   {cpr 3671   dom cdm 4727   ` cfv 5328   iota_crio 5975  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  USGraphcusgr 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-edg 15938  df-umgren 15974  df-usgren 16036

This theorem is referenced by:  usgredg2v  16104