Theorem usgredg2vlem2 16205

Description: Lemma 2 for usgredg2v 16206. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }

Assertion

Ref	Expression
usgredg2vlem2	|- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   x, Y, z   z, I

Allowed substitution hints:   A( x, z)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2vlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5669	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( E ` x ) = ( E ` Y ) )
2	1	eleq2d 2302	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( N e. ( E ` x ) <-> N e. ( E ` Y ) ) )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	2, 3	elrab2 2975	. . . 4 |- ( Y e. A <-> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
5	4	biimpi 120	. . 3 |- ( Y e. A -> ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) )
6		usgredg2v.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
7		usgredg2v.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
8	6, 7	usgredgreu 16198	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
9	8	3expb 1231	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } )
10	6, 7, 3	usgredg2vlem1 16204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
11	10	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
12	11	ad4ant23 515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V )
13		eleq1 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( I e. V <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) e. V ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> I e. V )
16		prcom 3766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { N , z } = { z , N }
17	16	eqeq2i 2243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` Y ) = { N , z } <-> ( E ` Y ) = { z , N } )
18	17	reubii 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } <-> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
20	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } )
21		preq1 3767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = I -> { z , N } = { I , N } )
22	21	eqeq2d 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = I -> ( ( E ` Y ) = { z , N } <-> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
23	22	riota2 6026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ E! z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
24	15, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) /\ I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) ) -> ( ( E ` Y ) = { I , N } <-> ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I ) )
25	24	exbiri 382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
26	25	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) = I -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
27	26	eqcoms 2235	. . . . . . . 8 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
28	27	pm2.43i 49	. . . . . . 7 |- ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) /\ Y e. A ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )
29	28	expdcom 1488	. . . . . 6 |- ( ( E! z e. V ( E ` Y ) = { N , z } /\ ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
30	9, 29	mpancom 422	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) ) -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
31	30	expcom 116	. . . 4 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( G e. USGraph -> ( Y e. A -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
32	31	com23 78	. . 3 |- ( ( Y e. dom E /\ N e. ( E ` Y ) ) -> ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) ) )
33	5, 32	mpcom 36	. 2 |- ( Y e. A -> ( G e. USGraph -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) ) )
34	33	impcom 125	1 |- ( ( G e. USGraph /\ Y e. A ) -> ( I = ( iota_ z e. V ( E ` Y ) = { z , N } ) -> ( E ` Y ) = { I , N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E!wreu 2522   {crab 2524   {cpr 3689   dom cdm 4748   ` cfv 5351   iota_crio 6001  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  USGraphcusgr 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-umgren 16076  df-usgren 16138

This theorem is referenced by:  usgredg2v  16206