Theorem uspgredg2vtxeu 16442

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vtxeu	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 16405	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	upgredg2vtx 16372	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
5	1, 4	syl3an1 1311	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
6		eqtr2 2257	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
7		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	7, 8	preqr2 3892	. . . . 5 ⊢ ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
10	6, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) ∧ (𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
12	11	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
13		preq2 3788	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
14	13	eqeq2d 2250	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}))
15	14	reu4 3020	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
16	5, 12, 15	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∃!wreu 2530  {cpr 3709  ‘cfv 5375  Vtxcvtx 16236  Edgcedg 16281  UPGraphcupgr 16315  USPGraphcuspgr 16377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-2o 6682  df-en 7017  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-upgren 16317  df-uspgren 16379

This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  16443  uspgredg2vlem  16444  uspgredg2v  16445