Theorem uzsplit 10296

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 10297) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		zlelttric 9499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁))
5		eluz 9743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
7		eluzel2 9735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		elfzm11 10295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁)))
9		df-3an 1004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
11	7, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
12		eluzle 9742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
13	2, 12	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
15	14	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
16	11, 15	bitr4d 191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
17	6, 16	orbi12d 798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝑁)))
18	4, 17	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
19	18	orcomd 734	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
21		elfzuz 10225	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
23		uztrn 9747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25	22, 24	jaod 722	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
26	20, 25	impbid 129	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))))
27		elun 3345	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
28	26, 27	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁))))
29	28	eqrdv 2227	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8008   < clt 8189   ≤ cle 8190   − cmin 8325  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ...cfz 10212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213

This theorem is referenced by:  nn0split  10340  nnsplit  10341  plyaddlem1  15429  plymullem1  15430