ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltlen GIF version

Theorem zltlen 9349
Description: Integer 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. Also see ltleap 8607 which is a similar result for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zltlen ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem zltlen
StepHypRef Expression
1 zre 9275 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 zre 9275 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3 ltleap 8607 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 # 𝐵)))
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 # 𝐵)))
5 zapne 9345 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵))
65anbi2d 464 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵𝐴 # 𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
74, 6bitrd 188 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
8 necom 2444 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
98anbi2i 457 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
107, 9bitrdi 196 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4018  cr 7828   < clt 8010  cle 8011   # cap 8556  cz 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272
This theorem is referenced by:  nn0lt2  9352  fzdifsuc  10099  fzofzim  10206  oddprmgt2  12152  pcmpt  12359  lgsneg  14822  lgsdilem  14825  lgsdirprm  14832
  Copyright terms: Public domain W3C validator