Theorem zltlen 9735

Description: Integer 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. Also see ltleap 8968 which is a similar result for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltlen	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem zltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9659	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		zre 9659	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltleap 8968	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵)))
5		zapne 9730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	5	anbi2d 468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
7	4, 6	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
8		necom 2504	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
9	8	anbi2i 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
10	7, 9	bitrdi 196	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367   # cap 8917  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  nn0lt2  9738  fzdifsuc  10505  fzofzim  10617  oddprmgt2  12938  pcmpt  13151  lgsneg  16348  lgsdilem  16351  lgsdirprm  16358  lgsquadlem2  16402