ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltlen GIF version

Theorem zltlen 8735
Description: Integer 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. Also see ltleap 8025 which is a similar result for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zltlen ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem zltlen
StepHypRef Expression
1 zre 8664 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 zre 8664 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3 ltleap 8025 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 # 𝐵)))
41, 2, 3syl2an 283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 # 𝐵)))
5 zapne 8731 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵))
65anbi2d 452 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵𝐴 # 𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
74, 6bitrd 186 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
8 necom 2335 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
98anbi2i 445 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
107, 9syl6bb 194 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3814  cr 7270   < clt 7443  cle 7444   # cap 7976  cz 8660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661
This theorem is referenced by:  nn0lt2  8738  fzdifsuc  9402  fzofzim  9502  expival  9808  oddprmgt2  10909
  Copyright terms: Public domain W3C validator