Theorem 1onn 6619

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6515	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4650	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4651	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2279	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  ∅c0 3464  suc csuc 4420  ωcom 4646  1_oc1o 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3857  df-int 3892  df-suc 4426  df-iom 4647  df-1o 6515

This theorem is referenced by:  2onn  6620  nnm2  6625  nnaordex  6627  snfig  6920  snnen2og  6971  1nen2  6973  unfiexmid  7030  en1eqsn  7065  omp1eomlem  7211  fodjum  7263  fodju0  7264  nninfdcinf  7288  nninfwlporlemd  7289  nninfwlporlem  7290  en2eleq  7319  en2other2  7320  exmidfodomrlemr  7326  exmidfodomrlemrALT  7327  1pi  7448  1lt2pi  7473  archnqq  7550  nq0m0r  7589  nq02m  7598  prarloclemlt  7626  prarloclemlo  7627  1tonninf  10608  hash2  10979  fnpr2o  13246  fvpr1o  13249  upgrfi  15773  012of  16069  2omap  16071  pwle2  16076  peano3nninf  16085  nninfall  16087  nninfsellemdc  16088  nninfsellemeq  16092  nninfsellemeqinf  16094  nninffeq  16098  sbthom  16106  isomninnlem  16110  iswomninnlem  16129  ismkvnnlem  16132