Theorem 1onn 6793

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6687	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4741	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4742	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 1o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  suc csuc 4510  ωcom 4737  1_oc1o 6680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-1o 6687

This theorem is used by:  2onn  6794  nnm2  6799  nnaordex  6801  snfig  7103  snnen2og  7160  1nen2  7162  1ndom2  7166  unfiexmid  7225  en1eqsn  7265  2omap  7318  omp1eomlem  7434  fodjum  7486  fodju0  7487  nninfdcinf  7511  nninfwlporlemd  7512  nninfwlporlem  7513  en2eleq  7547  en2other2  7548  exmidfodomrlemr  7554  exmidfodomrlemrALT  7555  1pi  7682  1lt2pi  7707  archnqq  7784  nq0m0r  7823  nq02m  7832  prarloclemlt  7860  prarloclemlo  7861  1tonninf  10878  en1hash  11239  hash2  11253  fnpr2o  13660  fvpr1o  13663  upgrfi  16343  012of  17023  pwle2  17028  peano3nninf  17050  nninfall  17052  nninfsellemdc  17053  nninfsellemeq  17057  nninfsellemeqinf  17059  nninffeq  17063  sbthom  17071  isomninnlem  17079  iswomninnlem  17099  ismkvnnlem  17102