Theorem 1onn 6688

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6582	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4692	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4693	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  suc csuc 4462  ωcom 4688  1_oc1o 6575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6582

This theorem is referenced by:  2onn  6689  nnm2  6694  nnaordex  6696  snfig  6989  snnen2og  7045  1nen2  7047  1ndom2  7051  unfiexmid  7110  en1eqsn  7147  omp1eomlem  7293  fodjum  7345  fodju0  7346  nninfdcinf  7370  nninfwlporlemd  7371  nninfwlporlem  7372  en2eleq  7406  en2other2  7407  exmidfodomrlemr  7413  exmidfodomrlemrALT  7414  1pi  7535  1lt2pi  7560  archnqq  7637  nq0m0r  7676  nq02m  7685  prarloclemlt  7713  prarloclemlo  7714  1tonninf  10704  en1hash  11063  hash2  11077  fnpr2o  13427  fvpr1o  13430  upgrfi  15959  012of  16618  2omap  16620  pwle2  16625  peano3nninf  16635  nninfall  16637  nninfsellemdc  16638  nninfsellemeq  16642  nninfsellemeqinf  16644  nninffeq  16648  sbthom  16656  isomninnlem  16660  iswomninnlem  16680  ismkvnnlem  16683