Theorem 1onn 6783

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6677	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4736	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4737	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  suc csuc 4505  ωcom 4732  1_oc1o 6670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-suc 4511  df-iom 4733  df-1o 6677

This theorem is referenced by:  2onn  6784  nnm2  6789  nnaordex  6791  snfig  7093  snnen2og  7150  1nen2  7152  1ndom2  7156  unfiexmid  7215  en1eqsn  7255  2omap  7308  omp1eomlem  7424  fodjum  7476  fodju0  7477  nninfdcinf  7501  nninfwlporlemd  7502  nninfwlporlem  7503  en2eleq  7537  en2other2  7538  exmidfodomrlemr  7544  exmidfodomrlemrALT  7545  1pi  7672  1lt2pi  7697  archnqq  7774  nq0m0r  7813  nq02m  7822  prarloclemlt  7850  prarloclemlo  7851  1tonninf  10856  en1hash  11217  hash2  11231  fnpr2o  13637  fvpr1o  13640  upgrfi  16257  012of  16937  pwle2  16942  peano3nninf  16955  nninfall  16957  nninfsellemdc  16958  nninfsellemeq  16962  nninfsellemeqinf  16964  nninffeq  16968  sbthom  16976  isomninnlem  16984  iswomninnlem  17004  ismkvnnlem  17007