Theorem 1onn 6456

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6353	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4547	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4548	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2227	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2125  ∅c0 3390  suc csuc 4320  ωcom 4543  1_oc1o 6346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-uni 3769  df-int 3804  df-suc 4326  df-iom 4544  df-1o 6353

This theorem is referenced by:  2onn  6457  nnm2  6461  nnaordex  6463  snfig  6748  snnen2og  6793  1nen2  6795  unfiexmid  6851  en1eqsn  6881  omp1eomlem  7024  fodjum  7068  fodju0  7069  en2eleq  7109  en2other2  7110  exmidfodomrlemr  7116  exmidfodomrlemrALT  7117  1pi  7214  1lt2pi  7239  archnqq  7316  nq0m0r  7355  nq02m  7364  prarloclemlt  7392  prarloclemlo  7393  1tonninf  10317  hash2  10663  012of  13506  pwle2  13509  peano3nninf  13519  nninfall  13522  nninfsellemdc  13523  nninfsellemeq  13527  nninfsellemeqinf  13529  nninffeq  13533  sbthom  13538  isomninnlem  13542  iswomninnlem  13561  ismkvnnlem  13564