Theorem 1onn 6797

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6691	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4743	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4744	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 1o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  suc csuc 4512  ωcom 4739  1_oc1o 6684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4518  df-iom 4740  df-1o 6691

This theorem is used by:  2onn  6798  nnm2  6803  nnaordex  6805  snfig  7107  snnen2og  7164  1nen2  7166  1ndom2  7170  unfiexmid  7229  en1eqsn  7270  2omap  7324  omp1eomlem  7440  fodjum  7492  fodju0  7493  nninfdcinf  7517  nninfwlporlemd  7518  nninfwlporlem  7519  en2eleq  7553  en2other2  7554  exmidfodomrlemr  7560  exmidfodomrlemrALT  7561  1pi  7688  1lt2pi  7713  archnqq  7790  nq0m0r  7829  nq02m  7838  prarloclemlt  7866  prarloclemlo  7867  1tonninf  10899  en1hash  11261  hash2  11275  fnpr2o  13719  fvpr1o  13722  upgrfi  16548  012of  17228  pwle2  17233  peano3nninf  17256  nninfall  17258  nninfsellemdc  17259  nninfsellemeq  17263  nninfsellemeqinf  17265  nninffeq  17269  sbthom  17277  isomninnlem  17285  iswomninnlem  17306  ismkvnnlem  17309