Theorem 1onn 6687

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6581	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4692	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4693	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  suc csuc 4462  ωcom 4688  1_oc1o 6574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6581

This theorem is referenced by:  2onn  6688  nnm2  6693  nnaordex  6695  snfig  6988  snnen2og  7044  1nen2  7046  1ndom2  7050  unfiexmid  7109  en1eqsn  7146  omp1eomlem  7292  fodjum  7344  fodju0  7345  nninfdcinf  7369  nninfwlporlemd  7370  nninfwlporlem  7371  en2eleq  7405  en2other2  7406  exmidfodomrlemr  7412  exmidfodomrlemrALT  7413  1pi  7534  1lt2pi  7559  archnqq  7636  nq0m0r  7675  nq02m  7684  prarloclemlt  7712  prarloclemlo  7713  1tonninf  10702  en1hash  11061  hash2  11075  fnpr2o  13421  fvpr1o  13424  upgrfi  15952  012of  16592  2omap  16594  pwle2  16599  peano3nninf  16609  nninfall  16611  nninfsellemdc  16612  nninfsellemeq  16616  nninfsellemeqinf  16618  nninffeq  16622  sbthom  16630  isomninnlem  16634  iswomninnlem  16653  ismkvnnlem  16656