Theorem 1onn 6674

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6568	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4686	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4687	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  suc csuc 4456  ωcom 4682  1_oc1o 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-suc 4462  df-iom 4683  df-1o 6568

This theorem is referenced by:  2onn  6675  nnm2  6680  nnaordex  6682  snfig  6975  snnen2og  7028  1nen2  7030  1ndom2  7034  unfiexmid  7091  en1eqsn  7126  omp1eomlem  7272  fodjum  7324  fodju0  7325  nninfdcinf  7349  nninfwlporlemd  7350  nninfwlporlem  7351  en2eleq  7384  en2other2  7385  exmidfodomrlemr  7391  exmidfodomrlemrALT  7392  1pi  7513  1lt2pi  7538  archnqq  7615  nq0m0r  7654  nq02m  7663  prarloclemlt  7691  prarloclemlo  7692  1tonninf  10675  hash2  11047  fnpr2o  13387  fvpr1o  13390  upgrfi  15917  012of  16416  2omap  16418  pwle2  16423  peano3nninf  16433  nninfall  16435  nninfsellemdc  16436  nninfsellemeq  16440  nninfsellemeqinf  16442  nninffeq  16446  sbthom  16454  isomninnlem  16458  iswomninnlem  16477  ismkvnnlem  16480