Theorem 1onn 6793

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6687	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4741	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4742	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 1o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  suc csuc 4510  ωcom 4737  1_oc1o 6680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-1o 6687

This theorem is used by:  2onn  6794  nnm2  6799  nnaordex  6801  snfig  7103  snnen2og  7160  1nen2  7162  1ndom2  7166  unfiexmid  7225  en1eqsn  7265  2omap  7319  omp1eomlem  7435  fodjum  7487  fodju0  7488  nninfdcinf  7512  nninfwlporlemd  7513  nninfwlporlem  7514  en2eleq  7548  en2other2  7549  exmidfodomrlemr  7555  exmidfodomrlemrALT  7556  1pi  7683  1lt2pi  7708  archnqq  7785  nq0m0r  7824  nq02m  7833  prarloclemlt  7861  prarloclemlo  7862  1tonninf  10893  en1hash  11255  hash2  11269  fnpr2o  13713  fvpr1o  13716  upgrfi  16509  012of  17189  pwle2  17194  peano3nninf  17216  nninfall  17218  nninfsellemdc  17219  nninfsellemeq  17223  nninfsellemeqinf  17225  nninffeq  17229  sbthom  17237  isomninnlem  17245  iswomninnlem  17266  ismkvnnlem  17269