Theorem 1onn 6499

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6395	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4578	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4579	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2243	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  suc csuc 4350  ωcom 4574  1_oc1o 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-1o 6395

This theorem is referenced by:  2onn  6500  nnm2  6505  nnaordex  6507  snfig  6792  snnen2og  6837  1nen2  6839  unfiexmid  6895  en1eqsn  6925  omp1eomlem  7071  fodjum  7122  fodju0  7123  nninfdcinf  7147  nninfwlporlemd  7148  nninfwlporlem  7149  en2eleq  7172  en2other2  7173  exmidfodomrlemr  7179  exmidfodomrlemrALT  7180  1pi  7277  1lt2pi  7302  archnqq  7379  nq0m0r  7418  nq02m  7427  prarloclemlt  7455  prarloclemlo  7456  1tonninf  10396  hash2  10747  012of  14028  pwle2  14031  peano3nninf  14040  nninfall  14042  nninfsellemdc  14043  nninfsellemeq  14047  nninfsellemeqinf  14049  nninffeq  14053  sbthom  14058  isomninnlem  14062  iswomninnlem  14081  ismkvnnlem  14084