Theorem 1onn 6664

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6560	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4685	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4686	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  suc csuc 4455  ωcom 4681  1_oc1o 6553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-suc 4461  df-iom 4682  df-1o 6560

This theorem is referenced by:  2onn  6665  nnm2  6670  nnaordex  6672  snfig  6965  snnen2og  7016  1nen2  7018  1ndom2  7022  unfiexmid  7076  en1eqsn  7111  omp1eomlem  7257  fodjum  7309  fodju0  7310  nninfdcinf  7334  nninfwlporlemd  7335  nninfwlporlem  7336  en2eleq  7369  en2other2  7370  exmidfodomrlemr  7376  exmidfodomrlemrALT  7377  1pi  7498  1lt2pi  7523  archnqq  7600  nq0m0r  7639  nq02m  7648  prarloclemlt  7676  prarloclemlo  7677  1tonninf  10658  hash2  11029  fnpr2o  13367  fvpr1o  13370  upgrfi  15896  012of  16316  2omap  16318  pwle2  16323  peano3nninf  16332  nninfall  16334  nninfsellemdc  16335  nninfsellemeq  16339  nninfsellemeqinf  16341  nninffeq  16345  sbthom  16353  isomninnlem  16357  iswomninnlem  16376  ismkvnnlem  16379