Theorem 1onn 6424

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6321	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4516	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4517	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2213	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  ∅c0 3368  suc csuc 4295  ωcom 4512  1_oc1o 6314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-suc 4301  df-iom 4513  df-1o 6321

This theorem is referenced by:  2onn  6425  nnm2  6429  nnaordex  6431  snfig  6716  snnen2og  6761  1nen2  6763  unfiexmid  6814  en1eqsn  6844  omp1eomlem  6987  fodjum  7026  fodju0  7027  en2eleq  7068  en2other2  7069  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076  1pi  7147  1lt2pi  7172  archnqq  7249  nq0m0r  7288  nq02m  7297  prarloclemlt  7325  prarloclemlo  7326  1tonninf  10244  hash2  10590  012of  13363  pwle2  13366  peano3nninf  13376  nninfall  13379  nninfsellemdc  13381  nninfsellemeq  13385  nninfsellemeqinf  13387  nninffeq  13391  sbthom  13396  isomninnlem  13400  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419