Theorem 1onn 6460

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6357	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4551	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4552	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2230	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  ∅c0 3394  suc csuc 4324  ωcom 4547  1_oc1o 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-suc 4330  df-iom 4548  df-1o 6357

This theorem is referenced by:  2onn  6461  nnm2  6465  nnaordex  6467  snfig  6752  snnen2og  6797  1nen2  6799  unfiexmid  6855  en1eqsn  6885  omp1eomlem  7028  fodjum  7072  fodju0  7073  en2eleq  7113  en2other2  7114  exmidfodomrlemr  7120  exmidfodomrlemrALT  7121  1pi  7218  1lt2pi  7243  archnqq  7320  nq0m0r  7359  nq02m  7368  prarloclemlt  7396  prarloclemlo  7397  1tonninf  10321  hash2  10668  012of  13527  pwle2  13530  peano3nninf  13540  nninfall  13543  nninfsellemdc  13544  nninfsellemeq  13548  nninfsellemeqinf  13550  nninffeq  13554  sbthom  13559  isomninnlem  13563  iswomninnlem  13582  ismkvnnlem  13585