Theorem 1onn 6683

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6577	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4690	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4691	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∅c0 3492  suc csuc 4460  ωcom 4686  1_oc1o 6570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-suc 4466  df-iom 4687  df-1o 6577

This theorem is referenced by:  2onn  6684  nnm2  6689  nnaordex  6691  snfig  6984  snnen2og  7040  1nen2  7042  1ndom2  7046  unfiexmid  7103  en1eqsn  7138  omp1eomlem  7284  fodjum  7336  fodju0  7337  nninfdcinf  7361  nninfwlporlemd  7362  nninfwlporlem  7363  en2eleq  7396  en2other2  7397  exmidfodomrlemr  7403  exmidfodomrlemrALT  7404  1pi  7525  1lt2pi  7550  archnqq  7627  nq0m0r  7666  nq02m  7675  prarloclemlt  7703  prarloclemlo  7704  1tonninf  10693  en1hash  11052  hash2  11066  fnpr2o  13412  fvpr1o  13415  upgrfi  15943  012of  16528  2omap  16530  pwle2  16535  peano3nninf  16545  nninfall  16547  nninfsellemdc  16548  nninfsellemeq  16552  nninfsellemeqinf  16554  nninffeq  16558  sbthom  16566  isomninnlem  16570  iswomninnlem  16589  ismkvnnlem  16592