Theorem 1onn 6753

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6647	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 4716	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4717	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2305	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  ∅c0 3508  suc csuc 4486  ωcom 4712  1_oc1o 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-suc 4492  df-iom 4713  df-1o 6647

This theorem is referenced by:  2onn  6754  nnm2  6759  nnaordex  6761  snfig  7056  snnen2og  7113  1nen2  7115  1ndom2  7119  unfiexmid  7178  en1eqsn  7218  2omap  7269  omp1eomlem  7385  fodjum  7437  fodju0  7438  nninfdcinf  7462  nninfwlporlemd  7463  nninfwlporlem  7464  en2eleq  7498  en2other2  7499  exmidfodomrlemr  7505  exmidfodomrlemrALT  7506  1pi  7630  1lt2pi  7655  archnqq  7732  nq0m0r  7771  nq02m  7780  prarloclemlt  7808  prarloclemlo  7809  1tonninf  10803  en1hash  11163  hash2  11177  fnpr2o  13552  fvpr1o  13555  upgrfi  16097  012of  16767  pwle2  16772  peano3nninf  16785  nninfall  16787  nninfsellemdc  16788  nninfsellemeq  16792  nninfsellemeqinf  16794  nninffeq  16798  sbthom  16806  isomninnlem  16814  iswomninnlem  16834  ismkvnnlem  16837