ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st GIF version

Theorem op1st 5998
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op1st (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4110 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 420 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 1stvalg 5994 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 7 . 2 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op1sta 4978 . 2 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
86, 7eqtri 2135 1 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2657  {csn 3493  cop 3496   cuni 3702  dom cdm 4499  cfv 5081  1st c1st 5990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-1st 5992
This theorem is referenced by:  op1std  6000  op1stg  6002  1stval2  6007  fo1stresm  6013  eloprabi  6048  algrflem  6080  xpmapenlem  6696  genpelvl  7268  nqpru  7308  1prl  7311  addnqprlemrl  7313  addnqprlemfl  7315  addnqprlemfu  7316  mulnqprlemrl  7329  mulnqprlemfl  7331  mulnqprlemfu  7332  ltnqpr  7349  ltnqpri  7350  ltexprlemell  7354  recexprlemell  7378  archpr  7399  cauappcvgprlemm  7401  cauappcvgprlemopl  7402  cauappcvgprlemlol  7403  cauappcvgprlemdisj  7407  cauappcvgprlemloc  7408  cauappcvgprlemladdfl  7411  cauappcvgprlemladdru  7412  cauappcvgprlemladdrl  7413  cauappcvgprlem1  7415  cauappcvgprlem2  7416  caucvgprlemm  7424  caucvgprlemopl  7425  caucvgprlemlol  7426  caucvgprlemdisj  7430  caucvgprlemloc  7431  caucvgprlem2  7436  caucvgprprlemell  7441  caucvgprprlemml  7450  caucvgprprlemopu  7455  ctiunctlemfo  11795
  Copyright terms: Public domain W3C validator