ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st GIF version

Theorem op1st 6146
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op1st (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4228 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 426 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 1stvalg 6142 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 5 . 2 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op1sta 5110 . 2 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
86, 7eqtri 2198 1 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3592  cop 3595   cuni 3809  dom cdm 4626  cfv 5216  1st c1st 6138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-1st 6140
This theorem is referenced by:  op1std  6148  op1stg  6150  1stval2  6155  fo1stresm  6161  eloprabi  6196  algrflem  6229  xpmapenlem  6848  genpelvl  7510  nqpru  7550  1prl  7553  addnqprlemrl  7555  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  mulnqprlemrl  7571  mulnqprlemfl  7573  mulnqprlemfu  7574  ltnqpr  7591  ltnqpri  7592  ltexprlemell  7596  recexprlemell  7620  archpr  7641  cauappcvgprlemm  7643  cauappcvgprlemopl  7644  cauappcvgprlemlol  7645  cauappcvgprlemdisj  7649  cauappcvgprlemloc  7650  cauappcvgprlemladdfl  7653  cauappcvgprlemladdru  7654  cauappcvgprlemladdrl  7655  cauappcvgprlem1  7657  cauappcvgprlem2  7658  caucvgprlemm  7666  caucvgprlemopl  7667  caucvgprlemlol  7668  caucvgprlemdisj  7672  caucvgprlemloc  7673  caucvgprlem2  7678  caucvgprprlemell  7683  caucvgprprlemml  7692  caucvgprprlemopu  7697  ctiunctlemfo  12439
  Copyright terms: Public domain W3C validator