Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st GIF version

Theorem op1st 6084
 Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op1st (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4183 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 423 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 1stvalg 6080 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 5 . 2 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op1sta 5060 . 2 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
86, 7eqtri 2175 1 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709  {csn 3556  ⟨cop 3559  ∪ cuni 3768  dom cdm 4579  ‘cfv 5163  1st c1st 6076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-1st 6078 This theorem is referenced by:  op1std  6086  op1stg  6088  1stval2  6093  fo1stresm  6099  eloprabi  6134  algrflem  6166  xpmapenlem  6783  genpelvl  7411  nqpru  7451  1prl  7454  addnqprlemrl  7456  addnqprlemfl  7458  addnqprlemfu  7459  mulnqprlemrl  7472  mulnqprlemfl  7474  mulnqprlemfu  7475  ltnqpr  7492  ltnqpri  7493  ltexprlemell  7497  recexprlemell  7521  archpr  7542  cauappcvgprlemm  7544  cauappcvgprlemopl  7545  cauappcvgprlemlol  7546  cauappcvgprlemdisj  7550  cauappcvgprlemloc  7551  cauappcvgprlemladdfl  7554  cauappcvgprlemladdru  7555  cauappcvgprlemladdrl  7556  cauappcvgprlem1  7558  cauappcvgprlem2  7559  caucvgprlemm  7567  caucvgprlemopl  7568  caucvgprlemlol  7569  caucvgprlemdisj  7573  caucvgprlemloc  7574  caucvgprlem2  7579  caucvgprprlemell  7584  caucvgprprlemml  7593  caucvgprprlemopu  7598  ctiunctlemfo  12127
 Copyright terms: Public domain W3C validator