ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st GIF version

Theorem op1st 6149
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op1st (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4230 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 426 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 1stvalg 6145 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 5 . 2 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op1sta 5112 . 2 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
86, 7eqtri 2198 1 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2739  {csn 3594  cop 3597   cuni 3811  dom cdm 4628  cfv 5218  1st c1st 6141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-1st 6143
This theorem is referenced by:  op1std  6151  op1stg  6153  1stval2  6158  fo1stresm  6164  eloprabi  6199  algrflem  6232  xpmapenlem  6851  genpelvl  7513  nqpru  7553  1prl  7556  addnqprlemrl  7558  addnqprlemfl  7560  addnqprlemfu  7561  mulnqprlemrl  7574  mulnqprlemfl  7576  mulnqprlemfu  7577  ltnqpr  7594  ltnqpri  7595  ltexprlemell  7599  recexprlemell  7623  archpr  7644  cauappcvgprlemm  7646  cauappcvgprlemopl  7647  cauappcvgprlemlol  7648  cauappcvgprlemdisj  7652  cauappcvgprlemloc  7653  cauappcvgprlemladdfl  7656  cauappcvgprlemladdru  7657  cauappcvgprlemladdrl  7658  cauappcvgprlem1  7660  cauappcvgprlem2  7661  caucvgprlemm  7669  caucvgprlemopl  7670  caucvgprlemlol  7671  caucvgprlemdisj  7675  caucvgprlemloc  7676  caucvgprlem2  7681  caucvgprprlemell  7686  caucvgprprlemml  7695  caucvgprprlemopu  7700  ctiunctlemfo  12442
  Copyright terms: Public domain W3C validator