ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st GIF version

Theorem op1st 5852
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op1st (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4019 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 417 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 1stvalg 5848 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 7 . 2 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op1sta 4866 . 2 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
86, 7eqtri 2103 1 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2612  {csn 3422  cop 3425   cuni 3627  dom cdm 4401  cfv 4969  1st c1st 5844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-1st 5846
This theorem is referenced by:  op1std  5854  op1stg  5856  1stval2  5861  fo1stresm  5867  eloprabi  5901  algrflem  5929  xpmapenlem  6495  genpelvl  6974  nqpru  7014  1prl  7017  addnqprlemrl  7019  addnqprlemfl  7021  addnqprlemfu  7022  mulnqprlemrl  7035  mulnqprlemfl  7037  mulnqprlemfu  7038  ltnqpr  7055  ltnqpri  7056  ltexprlemell  7060  recexprlemell  7084  archpr  7105  cauappcvgprlemm  7107  cauappcvgprlemopl  7108  cauappcvgprlemlol  7109  cauappcvgprlemdisj  7113  cauappcvgprlemloc  7114  cauappcvgprlemladdfl  7117  cauappcvgprlemladdru  7118  cauappcvgprlemladdrl  7119  cauappcvgprlem1  7121  cauappcvgprlem2  7122  caucvgprlemm  7130  caucvgprlemopl  7131  caucvgprlemlol  7132  caucvgprlemdisj  7136  caucvgprlemloc  7137  caucvgprlem2  7142  caucvgprprlemell  7147  caucvgprprlemml  7156  caucvgprprlemopu  7161
  Copyright terms: Public domain W3C validator