Theorem 1pr 7516

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7429	. 2 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2		1nq 7328	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqprlu 7509	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩ ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩ ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2243	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  {cab 2156  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  Qcnq 7242  1_Qc1q 7243   <_Q cltq 7247  Pcnp 7253  1_Pc1p 7254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428  df-i1p 7429

This theorem is referenced by:  1idprl  7552  1idpru  7553  1idpr  7554  recexprlemex  7599  ltmprr  7604  gt0srpr  7710  0r  7712  1sr  7713  m1r  7714  m1p1sr  7722  m1m1sr  7723  0lt1sr  7727  0idsr  7729  1idsr  7730  00sr  7731  recexgt0sr  7735  archsr  7744  srpospr  7745  prsrcl  7746  prsrpos  7747  prsradd  7748  prsrlt  7749  caucvgsrlembound  7756  ltpsrprg  7765  mappsrprg  7766  map2psrprg  7767  suplocsrlemb  7768  suplocsrlempr  7769  pitonnlem1p1  7808  pitonnlem2  7809  pitonn  7810  pitoregt0  7811  pitore  7812  recnnre  7813  recidpirqlemcalc  7819  recidpirq  7820