Theorem 1pr 7737

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7650	. 2 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2		1nq 7549	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqprlu 7730	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩ ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩ ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  Qcnq 7463  1_Qc1q 7464   <_Q cltq 7468  Pcnp 7474  1_Pc1p 7475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649  df-i1p 7650

This theorem is referenced by:  1idprl  7773  1idpru  7774  1idpr  7775  recexprlemex  7820  ltmprr  7825  gt0srpr  7931  0r  7933  1sr  7934  m1r  7935  m1p1sr  7943  m1m1sr  7944  0lt1sr  7948  0idsr  7950  1idsr  7951  00sr  7952  recexgt0sr  7956  archsr  7965  srpospr  7966  prsrcl  7967  prsrpos  7968  prsradd  7969  prsrlt  7970  caucvgsrlembound  7977  ltpsrprg  7986  mappsrprg  7987  map2psrprg  7988  suplocsrlemb  7989  suplocsrlempr  7990  pitonnlem1p1  8029  pitonnlem2  8030  pitonn  8031  pitoregt0  8032  pitore  8033  recnnre  8034  recidpirqlemcalc  8040  recidpirq  8041