Theorem 1pr 7752

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7665	. 2 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2		1nq 7564	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqprlu 7745	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩ ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩ ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  Qcnq 7478  1_Qc1q 7479   <_Q cltq 7483  Pcnp 7489  1_Pc1p 7490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551  df-inp 7664  df-i1p 7665

This theorem is referenced by:  1idprl  7788  1idpru  7789  1idpr  7790  recexprlemex  7835  ltmprr  7840  gt0srpr  7946  0r  7948  1sr  7949  m1r  7950  m1p1sr  7958  m1m1sr  7959  0lt1sr  7963  0idsr  7965  1idsr  7966  00sr  7967  recexgt0sr  7971  archsr  7980  srpospr  7981  prsrcl  7982  prsrpos  7983  prsradd  7984  prsrlt  7985  caucvgsrlembound  7992  ltpsrprg  8001  mappsrprg  8002  map2psrprg  8003  suplocsrlemb  8004  suplocsrlempr  8005  pitonnlem1p1  8044  pitonnlem2  8045  pitonn  8046  pitoregt0  8047  pitore  8048  recnnre  8049  recidpirqlemcalc  8055  recidpirq  8056