ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemss1l GIF version

Theorem recexprlemss1l 7636
Description: The lower cut of ๐ด ยทP ๐ต is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 7639. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
Assertion
Ref Expression
recexprlemss1l (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โІ (1st โ€˜1P))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem recexprlemss1l
Dummy variables ๐‘ž ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . . . 6 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
21recexprlempr 7633 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ ๐ต โˆˆ P)
3 df-imp 7470 . . . . . 6 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ค โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}, {๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}โŸฉ)
4 mulclnq 7377 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
53, 4genpelvl 7513 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž)))
62, 5mpdan 421 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž)))
71recexprlemell 7623 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8 ltrelnq 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q โІ (Q ร— Q)
98brel 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q))
109simprd 114 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
11 prop 7476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
12 elprnql 7482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
14 ltmnqi 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
1514expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
18 prltlu 7488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ))
1911, 18syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ))
20193expia 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
22 ltmnqi 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
2322expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ))))
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ))))
25 mulcomnqg 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
26 recidnq 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) = 1Q)
2726adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) = 1Q)
2825, 27breq12d 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2924, 28sylibd 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3029ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3113, 30sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3221, 31syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3317, 32anim12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q)))
34 ltsonq 7399 . . . . . . . . . . . . . . 15 <Q Or Q
3534, 8sotri 5026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q)
3633, 35syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
3736exp4b 367 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))))
3810, 37syl5 32 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))))
3938pm2.43d 50 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q)))
4039impd 254 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
4140exlimdv 1819 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
427, 41biimtrid 152 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
43 breq1 4008 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ (๐‘ค <Q 1Q โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
4443biimprcd 160 . . . . . . 7 ((๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
4542, 44syl6 33 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4645expimpd 363 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ ((๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4746rexlimdvv 2601 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
486, 47sylbid 150 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
49 1prl 7556 . . . 4 (1st โ€˜1P) = {๐‘ค โˆฃ ๐‘ค <Q 1Q}
5049abeq2i 2288 . . 3 (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†” ๐‘ค <Q 1Q)
5148, 50imbitrrdi 162 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜1P)))
5251ssrdv 3163 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โІ (1st โ€˜1P))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  {cab 2163  โˆƒwrex 2456   โІ wss 3131  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  Qcnq 7281  1Qc1q 7282   ยทQ cmq 7284  *Qcrq 7285   <Q cltq 7286  Pcnp 7292  1Pc1p 7293   ยทP cmp 7295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-imp 7470
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7638
  Copyright terms: Public domain W3C validator