ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemss1l GIF version

Theorem recexprlemss1l 7634
Description: The lower cut of ๐ด ยทP ๐ต is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 7637. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
Assertion
Ref Expression
recexprlemss1l (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โŠ† (1st โ€˜1P))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem recexprlemss1l
Dummy variables ๐‘ž ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . . . 6 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
21recexprlempr 7631 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ ๐ต โˆˆ P)
3 df-imp 7468 . . . . . 6 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ค โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}, {๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}โŸฉ)
4 mulclnq 7375 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
53, 4genpelvl 7511 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž)))
62, 5mpdan 421 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž)))
71recexprlemell 7621 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8 ltrelnq 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q โŠ† (Q ร— Q)
98brel 4679 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q))
109simprd 114 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
11 prop 7474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
12 elprnql 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
14 ltmnqi 7402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
1514expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
18 prltlu 7486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ))
1911, 18syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ))
20193expia 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
22 ltmnqi 7402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
2322expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ))))
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ))))
25 mulcomnqg 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
26 recidnq 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) = 1Q)
2726adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) = 1Q)
2825, 27breq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2924, 28sylibd 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3029ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3113, 30sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3221, 31syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
3317, 32anim12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q)))
34 ltsonq 7397 . . . . . . . . . . . . . . 15 <Q Or Q
3534, 8sotri 5025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q)
3633, 35syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
3736exp4b 367 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))))
3810, 37syl5 32 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))))
3938pm2.43d 50 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘ฆ โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q)))
4039impd 254 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
4140exlimdv 1819 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ž <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
427, 41biimtrid 152 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
43 breq1 4007 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ (๐‘ค <Q 1Q โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q))
4443biimprcd 160 . . . . . . 7 ((๐‘ง ยทQ ๐‘ž) <Q 1Q โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
4542, 44syl6 33 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4645expimpd 363 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ ((๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4746rexlimdvv 2601 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ž) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
486, 47sylbid 150 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
49 1prl 7554 . . . 4 (1st โ€˜1P) = {๐‘ค โˆฃ ๐‘ค <Q 1Q}
5049abeq2i 2288 . . 3 (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†” ๐‘ค <Q 1Q)
5148, 50imbitrrdi 162 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜1P)))
5251ssrdv 3162 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โŠ† (1st โ€˜1P))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  {cab 2163  โˆƒwrex 2456   โŠ† wss 3130  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  1st c1st 6139  2nd c2nd 6140  Qcnq 7279  1Qc1q 7280   ยทQ cmq 7282  *Qcrq 7283   <Q cltq 7284  Pcnp 7290  1Pc1p 7291   ยทP cmp 7293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-imp 7468
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7636
  Copyright terms: Public domain W3C validator