recexprlemss1l - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemss1l 7576

Description: The lower cut of 𝐴 ·_P 𝐵 is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 7579. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemss1l	⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem recexprlemss1l Dummy variables 𝑞 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
2	1	recexprlempr 7573	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-imp 7410	. . . . . 6 ⊢ ·_P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ ⟨{𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (1^st ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (1^st ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (2^nd ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (2^nd ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}⟩)
4		mulclnq 7317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·_Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelvl 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
6	2, 5	mpdan 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
7	1	recexprlemell 7563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
8		ltrelnq 7306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 4656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		prop 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
12		elprnql 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
13	11, 12	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
14		ltmnqi 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦))
15	14	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
17	16	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
18		prltlu 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
19	11, 18	syl3an1 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
20	19	3expia 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
22		ltmnqi 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
23	22	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
25		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) = (𝑧 ·_Q 𝑦))
26		recidnq 7334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
27	26	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
28	25, 27	breq12d 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
29	24, 28	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
30	29	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
31	13, 30	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
32	21, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
33	17, 32	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q)))
34		ltsonq 7339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <_Q Or Q
35	34, 8	sotri 4999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)
36	33, 35	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
37	36	exp4b 365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑦 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
38	10, 37	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)))
40	39	impd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
41	40	exlimdv 1807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
42	7, 41	syl5bi 151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
43		breq1 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → (𝑤 <_Q 1_Q ↔ (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
44	43	biimprcd 159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
45	42, 44	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
46	45	expimpd 361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
47	46	rexlimdvv 2590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
48	6, 47	sylbid 149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 <_Q 1_Q))
49		1prl 7496	. . . 4 ⊢ (1^st ‘1_P) = {𝑤 ∣ 𝑤 <_Q 1_Q}
50	49	abeq2i 2277	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (1^st ‘1_P) ↔ 𝑤 <_Q 1_Q)
51	48, 50	syl6ibr 161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 ∈ (1^st ‘1_P)))
52	51	ssrdv 3148	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 = wceq 1343 ∃wex 1480 ∈ wcel 2136 {cab 2151 ∃wrex 2445 ⊆ wss 3116 ⟨cop 3579 class class class wbr 3982 ‘cfv 5188 (class class class)co 5842 1^st c1st 6106 2^nd c2nd 6107 Qcnq 7221 1_Qc1q 7222 ·_Q cmq 7224 *_Qcrq 7225 <_Q cltq 7226 Pcnp 7232 1_Pc1p 7233 ·_P cmp 7235

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-eprel 4267 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-omul 6389 df-er 6501 df-ec 6503 df-qs 6507 df-ni 7245 df-pli 7246 df-mi 7247 df-lti 7248 df-plpq 7285 df-mpq 7286 df-enq 7288 df-nqqs 7289 df-plqqs 7290 df-mqqs 7291 df-1nqqs 7292 df-rq 7293 df-ltnqqs 7294 df-inp 7407 df-i1p 7408 df-imp 7410

This theorem is referenced by: recexprlemex 7578

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