recexprlemss1l - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemss1l 7625

Description: The lower cut of 𝐴 ·_P 𝐵 is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 7628. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemss1l	⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem recexprlemss1l Dummy variables 𝑞 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
2	1	recexprlempr 7622	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-imp 7459	. . . . . 6 ⊢ ·_P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ ⟨{𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (1^st ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (1^st ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (2^nd ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (2^nd ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}⟩)
4		mulclnq 7366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·_Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelvl 7502	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
6	2, 5	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
7	1	recexprlemell 7612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
8		ltrelnq 7355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 4675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		prop 7465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
12		elprnql 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
13	11, 12	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
14		ltmnqi 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦))
15	14	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
18		prltlu 7477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
19	11, 18	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
20	19	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
22		ltmnqi 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
23	22	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
25		mulcomnqg 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) = (𝑧 ·_Q 𝑦))
26		recidnq 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
28	25, 27	breq12d 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
29	24, 28	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
30	29	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
31	13, 30	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
32	21, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
33	17, 32	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q)))
34		ltsonq 7388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <_Q Or Q
35	34, 8	sotri 5020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)
36	33, 35	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
37	36	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑦 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
38	10, 37	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)))
40	39	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
41	40	exlimdv 1819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
42	7, 41	biimtrid 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
43		breq1 4003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → (𝑤 <_Q 1_Q ↔ (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
44	43	biimprcd 160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
45	42, 44	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
46	45	expimpd 363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
47	46	rexlimdvv 2601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
48	6, 47	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 <_Q 1_Q))
49		1prl 7545	. . . 4 ⊢ (1^st ‘1_P) = {𝑤 ∣ 𝑤 <_Q 1_Q}
50	49	abeq2i 2288	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (1^st ‘1_P) ↔ 𝑤 <_Q 1_Q)
51	48, 50	syl6ibr 162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 ∈ (1^st ‘1_P)))
52	51	ssrdv 3161	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1353 ∃wex 1492 ∈ wcel 2148 {cab 2163 ∃wrex 2456 ⊆ wss 3129 ⟨cop 3594 class class class wbr 4000 ‘cfv 5212 (class class class)co 5869 1^st c1st 6133 2^nd c2nd 6134 Qcnq 7270 1_Qc1q 7271 ·_Q cmq 7273 *_Qcrq 7274 <_Q cltq 7275 Pcnp 7281 1_Pc1p 7282 ·_P cmp 7284

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-eprel 4286 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-1o 6411 df-oadd 6415 df-omul 6416 df-er 6529 df-ec 6531 df-qs 6535 df-ni 7294 df-pli 7295 df-mi 7296 df-lti 7297 df-plpq 7334 df-mpq 7335 df-enq 7337 df-nqqs 7338 df-plqqs 7339 df-mqqs 7340 df-1nqqs 7341 df-rq 7342 df-ltnqqs 7343 df-inp 7456 df-i1p 7457 df-imp 7459

This theorem is referenced by: recexprlemex 7627

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