recexprlemss1l - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemss1l 7291

Description: The lower cut of 𝐴 ·_P 𝐵 is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 7294. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemss1l	⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem recexprlemss1l Dummy variables 𝑞 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
2	1	recexprlempr 7288	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-imp 7125	. . . . . 6 ⊢ ·_P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ ⟨{𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (1^st ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (1^st ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑓 ∈ Q ∃𝑔 ∈ Q (𝑓 ∈ (2^nd ‘𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (2^nd ‘𝑤) ∧ 𝑢 = (𝑓 ·_Q 𝑔))}⟩)
4		mulclnq 7032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·_Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelvl 7168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
6	2, 5	mpdan 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞)))
7	1	recexprlemell 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
8		ltrelnq 7021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 4519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 <_Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		prop 7131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
12		elprnql 7137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
13	11, 12	sylan 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → 𝑧 ∈ Q)
14		ltmnqi 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦))
15	14	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
17	16	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦)))
18		prltlu 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
19	11, 18	syl3an1 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦))
20	19	3expia 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
21	20	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → 𝑧 <_Q (_Q‘𝑦)))
22		ltmnqi 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
23	22	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
24	23	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (_Q‘𝑦) → (𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))))
25		mulcomnqg 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑧) = (𝑧 ·_Q 𝑦))
26		recidnq 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
27	26	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
28	25, 27	breq12d 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑦 ·_Q 𝑧) <_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
29	24, 28	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
30	29	ancoms 265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
31	13, 30	sylan 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q (*_Q‘𝑦) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
32	21, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q))
33	17, 32	anim12d 329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q)))
34		ltsonq 7054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <_Q Or Q
35	34, 8	sotri 4860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q (𝑧 ·_Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·_Q 𝑦) <_Q 1_Q) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)
36	33, 35	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
37	36	exp4b 360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑦 ∈ Q → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
38	10, 37	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))))
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 <_Q 𝑦 → ((*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q)))
40	39	impd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
41	40	exlimdv 1754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
42	7, 41	syl5bi 151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
43		breq1 3870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → (𝑤 <_Q 1_Q ↔ (𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q))
44	43	biimprcd 159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ·_Q 𝑞) <_Q 1_Q → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
45	42, 44	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)) → (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
46	45	expimpd 356	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q)))
47	46	rexlimdvv 2509	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ (1^st ‘𝐴)∃𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵)𝑤 = (𝑧 ·_Q 𝑞) → 𝑤 <_Q 1_Q))
48	6, 47	sylbid 149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 <_Q 1_Q))
49		1prl 7211	. . . 4 ⊢ (1^st ‘1_P) = {𝑤 ∣ 𝑤 <_Q 1_Q}
50	49	abeq2i 2205	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (1^st ‘1_P) ↔ 𝑤 <_Q 1_Q)
51	48, 50	syl6ibr 161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) → 𝑤 ∈ (1^st ‘1_P)))
52	51	ssrdv 3045	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1^st ‘(𝐴 ·_P 𝐵)) ⊆ (1^st ‘1_P))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 = wceq 1296 ∃wex 1433 ∈ wcel 1445 {cab 2081 ∃wrex 2371 ⊆ wss 3013 ⟨cop 3469 class class class wbr 3867 ‘cfv 5049 (class class class)co 5690 1^st c1st 5947 2^nd c2nd 5948 Qcnq 6936 1_Qc1q 6937 ·_Q cmq 6939 *_Qcrq 6940 <_Q cltq 6941 Pcnp 6947 1_Pc1p 6948 ·_P cmp 6950

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-coll 3975 ax-sep 3978 ax-nul 3986 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 784 df-3or 928 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-csb 2948 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-iun 3754 df-br 3868 df-opab 3922 df-mpt 3923 df-tr 3959 df-eprel 4140 df-id 4144 df-po 4147 df-iso 4148 df-iord 4217 df-on 4219 df-suc 4222 df-iom 4434 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-rn 4478 df-res 4479 df-ima 4480 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fn 5052 df-f 5053 df-f1 5054 df-fo 5055 df-f1o 5056 df-fv 5057 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-1st 5949 df-2nd 5950 df-recs 6108 df-irdg 6173 df-1o 6219 df-oadd 6223 df-omul 6224 df-er 6332 df-ec 6334 df-qs 6338 df-ni 6960 df-pli 6961 df-mi 6962 df-lti 6963 df-plpq 7000 df-mpq 7001 df-enq 7003 df-nqqs 7004 df-plqqs 7005 df-mqqs 7006 df-1nqqs 7007 df-rq 7008 df-ltnqqs 7009 df-inp 7122 df-i1p 7123 df-imp 7125

This theorem is referenced by: recexprlemex 7293

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