Theorem bitsdc 12114

Description: Whether a bit is set is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bitsdc	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID 𝑀 ∈ (bits‘𝑁))

Proof of Theorem bitsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9154	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 10789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
5		znq 9700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
6	4, 5	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
7	6	flqcld 10369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
8		dvdsdc 11965	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
9	1, 7, 8	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
10		dcn 843	. . 3 ⊢ (DECID 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) → DECID ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
12		bitsval2 12111	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
13	12	dcbid 839	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (DECID 𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ DECID ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
14	11, 13	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID 𝑀 ∈ (bits‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   / cdiv 8701  ℕcn 8992  2c2 9043  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  ℚcq 9695  ⌊cfl 10360  ↑cexp 10632   ∥ cdvds 11954  bitscbits 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-dvds 11955  df-bits 12108

This theorem is referenced by:  bitsfi  12124  bitsinv1lem  12128  bitsinv1  12129