Theorem cnmpt11f 14236

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt11.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmpt11f.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt11f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt11f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt11.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cntop2 14154	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		eqid 2189	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
6	5	toptopon 13970	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
7	4, 6	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
8		cnmpt11f.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
9		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐿 = ∪ 𝐿
10	5, 9	cnf 14156	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) → 𝐹:∪ 𝐾⟶∪ 𝐿)
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐾⟶∪ 𝐿)
12	11	feqmptd 5589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ (𝐹‘𝑦)))
13	12, 8	eqeltrrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
14		fveq2 5534	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
15	1, 2, 7, 13, 14	cnmpt11 14235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  ∪ cuni 3824   ↦ cmpt 4079  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  (class class class)co 5895  Topctop 13949  TopOnctopon 13962   Cn ccn 14137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6675  df-top 13950  df-topon 13963  df-cn 14140

This theorem is referenced by:  cnmpt12f  14238