Theorem ennnfonelemom 12341

Description: Lemma for ennnfone 12358. 𝐻 yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemom.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemom	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ∈ ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemom

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
2	1	fveq1i 5487	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑃) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
3	2	dmeqi 4805	. 2 ⊢ dom (𝐻‘𝑃) = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
5		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
6		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
7		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
8		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
9		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemj0 12334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemg 12336	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
12		nn0uz 9500	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13		0zd 9203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemjn 12335	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
15	10, 11, 12, 13, 14	seqf2 10399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0(𝐺, 𝐽):ℕ0⟶{𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
16		ennnfonelemom.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	15, 16	ffvelrnd 5621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
18		dmeq 4804	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → dom 𝑔 = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃))
19	18	eleq1d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
20	19	elrab 2882	. . . 4 ⊢ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ↔ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
21	17, 20	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
22	21	simprd 113	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω)
23	3, 22	eqeltrid 2253	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  {crab 2448   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  ifcif 3520  {csn 3576  ⟨cop 3579   ↦ cmpt 4043  suc csuc 4343  ωcom 4567  ^◡ccnv 4603  dom cdm 4604   “ cima 4607  –onto→wfo 5186  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ∈ cmpo 5844  freccfrec 6358   ↑_pm cpm 6615  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   − cmin 8069  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12345  ennnfonelemhf1o  12346  ennnfonelemex  12347  ennnfonelemhom  12348  ennnfonelemdm  12353