Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemom GIF version

Theorem ennnfonelemom 12096
 Description: Lemma for ennnfone 12113. 𝐻 yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemom.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemom (𝜑 → dom (𝐻𝑃) ∈ ω)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemom
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.h . . . 4 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21fveq1i 5462 . . 3 (𝐻𝑃) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
32dmeqi 4780 . 2 dom (𝐻𝑃) = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
4 ennnfonelemh.dceq . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
5 ennnfonelemh.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
6 ennnfonelemh.ne . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
7 ennnfonelemh.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
8 ennnfonelemh.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
9 ennnfonelemh.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
104, 5, 6, 7, 8, 9, 1ennnfonelemj0 12089 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
114, 5, 6, 7, 8, 9, 1ennnfonelemg 12091 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
12 nn0uz 9452 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
13 0zd 9158 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
144, 5, 6, 7, 8, 9, 1ennnfonelemjn 12090 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝐽𝑓) ∈ ω)
1510, 11, 12, 13, 14seqf2 10341 . . . . 5 (𝜑 → seq0(𝐺, 𝐽):ℕ0⟶{𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
16 ennnfonelemom.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
1715, 16ffvelrnd 5596 . . . 4 (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
18 dmeq 4779 . . . . . 6 (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → dom 𝑔 = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃))
1918eleq1d 2223 . . . . 5 (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
2019elrab 2864 . . . 4 ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ↔ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
2117, 20sylib 121 . . 3 (𝜑 → ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
2221simprd 113 . 2 (𝜑 → dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω)
233, 22eqeltrid 2241 1 (𝜑 → dom (𝐻𝑃) ∈ ω)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324  ∀wral 2432  ∃wrex 2433  {crab 2436   ∪ cun 3096  ∅c0 3390  ifcif 3501  {csn 3556  ⟨cop 3559   ↦ cmpt 4021  suc csuc 4320  ωcom 4543  ◡ccnv 4578  dom cdm 4579   “ cima 4582  –onto→wfo 5161  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814   ∈ cmpo 5816  freccfrec 6327   ↑pm cpm 6583  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   − cmin 8025  ℕ0cn0 9069  ℤcz 9146  seqcseq 10322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pm 6585  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-seqfrec 10323 This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12100  ennnfonelemhf1o  12101  ennnfonelemex  12102  ennnfonelemhom  12103  ennnfonelemdm  12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator