Theorem ennnfonelemom 11926

Description: Lemma for ennnfone 11943. 𝐻 yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemom.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemom	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ∈ ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemom

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
2	1	fveq1i 5422	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑃) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
3	2	dmeqi 4740	. 2 ⊢ dom (𝐻‘𝑃) = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
5		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
6		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
7		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
8		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
9		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemj0 11919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemg 11921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
12		nn0uz 9365	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13		0zd 9071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemjn 11920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
15	10, 11, 12, 13, 14	seqf2 10242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0(𝐺, 𝐽):ℕ0⟶{𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
16		ennnfonelemom.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	15, 16	ffvelrnd 5556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
18		dmeq 4739	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → dom 𝑔 = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃))
19	18	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
20	19	elrab 2840	. . . 4 ⊢ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ↔ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
21	17, 20	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
22	21	simprd 113	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω)
23	3, 22	eqeltrid 2226	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ^◡ccnv 4538  dom cdm 4539   “ cima 4542  –onto→wfo 5121  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287   ↑_pm cpm 6543  0cc0 7625  1c1 7626   + caddc 7628   − cmin 7938  ℕ₀cn0 8982  ℤcz 9059  seqcseq 10223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-addcom 7725  ax-addass 7727  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-ltadd 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-inn 8726  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-seqfrec 10224

This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  11930  ennnfonelemhf1o  11931  ennnfonelemex  11932  ennnfonelemhom  11933  ennnfonelemdm  11938