Theorem ennnfonelemom 12401

Description: Lemma for ennnfone 12418. 𝐻 yields finite sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemom.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemom	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ∈ ω)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemom

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
2	1	fveq1i 5515	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑃) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
3	2	dmeqi 4827	. 2 ⊢ dom (𝐻‘𝑃) = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
5		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
6		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
7		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
8		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
9		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemj0 12394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemg 12396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
12		nn0uz 9558	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13		0zd 9261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1	ennnfonelemjn 12395	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
15	10, 11, 12, 13, 14	seqf2 10459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0(𝐺, 𝐽):ℕ0⟶{𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
16		ennnfonelemom.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	15, 16	ffvelcdmd 5651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
18		dmeq 4826	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → dom 𝑔 = dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃))
19	18	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
20	19	elrab 2893	. . . 4 ⊢ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ↔ ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
21	17, 20	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∧ dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω))
22	21	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃) ∈ ω)
23	3, 22	eqeltrid 2264	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592  ⟨cop 3595   ↦ cmpt 4063  suc csuc 4364  ωcom 4588  ^◡ccnv 4624  dom cdm 4625   “ cima 4628  –onto→wfo 5213  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872   ∈ cmpo 5874  freccfrec 6388   ↑_pm cpm 6646  0cc0 7808  1c1 7809   + caddc 7811   − cmin 8124  ℕ₀cn0 9172  ℤcz 9249  seqcseq 10440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pm 6648  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441

This theorem is referenced by:  ennnfonelemkh  12405  ennnfonelemhf1o  12406  ennnfonelemex  12407  ennnfonelemhom  12408  ennnfonelemdm  12413