ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elblps GIF version

Theorem elblps 13184
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elblps ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elblps
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blvalps 13182 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
21eleq2d 2240 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3 oveq2 5861 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
43breq1d 3999 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
54elrab 2886 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
62, 5bitrdi 195 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  *cxr 7953   < clt 7954  PsMetcpsmet 12773  ballcbl 12776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-psmet 12781  df-bl 12784
This theorem is referenced by:  elbl2ps  13186  xblpnfps  13192  xblss2ps  13198  xblcntrps  13207  blssps  13221
  Copyright terms: Public domain W3C validator