Theorem negcncf 15758

Description: The negative function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negcncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negcncf	⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem negcncf

Dummy variables 𝑒 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		ssidd 3269	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
3		ssel2 3243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	negcld 8626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ ℂ)
5		negcncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)
6	4, 5	fmptd 5862	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+))
9		negeq 8521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → -𝑥 = -𝑢)
10		simprll 543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
11		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11, 10	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑢 ∈ ℂ)
13	12	negcld 8626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → -𝑢 ∈ ℂ)
14	5, 9, 10, 13	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑢) = -𝑢)
15		negeq 8521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → -𝑥 = -𝑣)
16		simprlr 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
17	11, 16	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑣 ∈ ℂ)
18	17	negcld 8626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → -𝑣 ∈ ℂ)
19	5, 15, 16, 18	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑣) = -𝑣)
20	14, 19	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣)) = (-𝑢 − -𝑣))
21	12, 17	neg2subd 8656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (-𝑢 − -𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
22	20, 21	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣)) = (𝑣 − 𝑢))
23	22	fveq2d 5699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) = (abs‘(𝑣 − 𝑢)))
24	17, 12	abssubd 11975	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑣)))
25	23, 24	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) = (abs‘(𝑢 − 𝑣)))
26	25	breq1d 4140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑒))
27	26	exbiri 382	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) < 𝑒)))
28	6, 8, 27	elcncf1di 15732	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
29	1, 2, 28	mp2and 437	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   < clt 8361   − cmin 8499  -cneg 8500  ℝ⁺crp 10065  abscabs 11778  –cn→ccncf 15723

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-2 9366  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-cncf 15724

This theorem is used by:  negfcncf  15759