Theorem negcncf 13382

Description: The negative function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negcncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negcncf	⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem negcncf

Dummy variables 𝑒 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		ssidd 3168	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
3		ssel2 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	negcld 8217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ ℂ)
5		negcncf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)
6	4, 5	fmptd 5650	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+))
9		negeq 8112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → -𝑥 = -𝑢)
10		simprll 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
11		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11, 10	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑢 ∈ ℂ)
13	12	negcld 8217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → -𝑢 ∈ ℂ)
14	5, 9, 10, 13	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑢) = -𝑢)
15		negeq 8112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → -𝑥 = -𝑣)
16		simprlr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
17	11, 16	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑣 ∈ ℂ)
18	17	negcld 8217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → -𝑣 ∈ ℂ)
19	5, 15, 16, 18	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑣) = -𝑣)
20	14, 19	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣)) = (-𝑢 − -𝑣))
21	12, 17	neg2subd 8247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (-𝑢 − -𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
22	20, 21	eqtrd 2203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣)) = (𝑣 − 𝑢))
23	22	fveq2d 5500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) = (abs‘(𝑣 − 𝑢)))
24	17, 12	abssubd 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘(𝑣 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑣)))
25	23, 24	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) = (abs‘(𝑢 − 𝑣)))
26	25	breq1d 3999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑒))
27	26	exbiri 380	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑣))) < 𝑒)))
28	6, 8, 27	elcncf1di 13360	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
29	1, 2, 28	mp2and 431	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   < clt 7954   − cmin 8090  -cneg 8091  ℝ⁺crp 9610  abscabs 10961  –cn→ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352

This theorem is referenced by:  negfcncf  13383