ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negcncf GIF version

Theorem negcncf 12771
Description: The negative function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negcncf.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negcncf (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem negcncf
Dummy variables 𝑒 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 ssidd 3118 . 2 (𝐴 ⊆ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
3 ssel2 3092 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
43negcld 8072 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℂ)
5 negcncf.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
64, 5fmptd 5574 . . 3 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 simpr 109 . . . 4 ((𝑢𝐴𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
87a1i 9 . . 3 (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑢𝐴𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+))
9 negeq 7967 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → -𝑥 = -𝑢)
10 simprll 526 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑢𝐴)
11 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
1211, 10sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑢 ∈ ℂ)
1312negcld 8072 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → -𝑢 ∈ ℂ)
145, 9, 10, 13fvmptd3 5514 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑢) = -𝑢)
15 negeq 7967 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑣 → -𝑥 = -𝑣)
16 simprlr 527 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑣𝐴)
1711, 16sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑣 ∈ ℂ)
1817negcld 8072 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → -𝑣 ∈ ℂ)
195, 15, 16, 18fvmptd3 5514 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑣) = -𝑣)
2014, 19oveq12d 5792 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑣)) = (-𝑢 − -𝑣))
2112, 17neg2subd 8102 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (-𝑢 − -𝑣) = (𝑣𝑢))
2220, 21eqtrd 2172 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑣)) = (𝑣𝑢))
2322fveq2d 5425 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑣))) = (abs‘(𝑣𝑢)))
2417, 12abssubd 10977 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑢𝑣)))
2523, 24eqtrd 2172 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑣))) = (abs‘(𝑢𝑣)))
2625breq1d 3939 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑣))) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑒))
2726exbiri 379 . . 3 (𝐴 ⊆ ℂ → (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑣))) < 𝑒)))
286, 8, 27elcncf1di 12749 . 2 (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)))
291, 2, 28mp2and 429 1 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wss 3071   class class class wbr 3929  cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630   < clt 7812  cmin 7945  -cneg 7946  +crp 9453  abscabs 10781  cnccncf 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-2 8791  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-cncf 12741
This theorem is referenced by:  negfcncf  12772
  Copyright terms: Public domain W3C validator