Theorem eluzelz 9610

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9607	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1015	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  eluzelre  9611  uztrn  9618  uzneg  9620  uzssz  9621  uzss  9622  eluzp1l  9626  eluzaddi  9628  eluzsubi  9629  eluzadd  9630  eluzsub  9631  uzm1  9632  uzin  9634  uzind4  9662  uz2mulcl  9682  elfz5  10092  elfzel2  10098  elfzelz  10100  eluzfz2  10107  peano2fzr  10112  fzsplit2  10125  fzopth  10136  fzsuc  10144  elfzp1  10147  fzdifsuc  10156  uzsplit  10167  uzdisj  10168  fzm1  10175  fzneuz  10176  uznfz  10178  nn0disj  10213  elfzo3  10239  fzoss2  10248  fzouzsplit  10255  eluzgtdifelfzo  10273  fzosplitsnm1  10285  fzofzp1b  10304  elfzonelfzo  10306  fzosplitsn  10309  fzisfzounsn  10312  zsupcllemstep  10319  infssuzex  10323  suprzubdc  10326  fldiv4lem1div2uz2  10396  mulp1mod1  10457  m1modge3gt1  10463  frec2uzltd  10495  frecfzen2  10519  uzennn  10528  uzsinds  10536  seq3fveq2  10567  seq3feq2  10568  seqfveq2g  10569  seq3shft2  10573  seqshft2g  10574  monoord  10577  monoord2  10578  ser3mono  10579  seq3split  10580  seqsplitg  10581  iseqf1olemjpcl  10600  iseqf1olemqpcl  10601  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemp  10607  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  seq3id  10617  seq3z  10620  fser0const  10627  leexp2a  10684  expnlbnd2  10757  hashfz  10913  hashfzo  10914  hashfzp1  10916  seq3coll  10934  seq3shft  11003  rexuz3  11155  r19.2uz  11158  cau4  11281  caubnd2  11282  clim  11446  climshft2  11471  climaddc1  11494  climmulc2  11496  climsubc1  11497  climsubc2  11498  clim2ser  11502  clim2ser2  11503  iserex  11504  climlec2  11506  climub  11509  climcau  11512  climcaucn  11516  serf0  11517  sumrbdclem  11542  fsum3cvg  11543  summodclem2a  11546  zsumdc  11549  fsum3  11552  fisumss  11557  fsum3cvg2  11559  fsum3ser  11562  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  fsumm1  11581  fzosump1  11582  fsum1p  11583  fsump1  11585  fsummulc2  11613  telfsumo  11631  fsumparts  11635  iserabs  11640  binomlem  11648  isumshft  11655  isumsplit  11656  isumrpcl  11659  divcnv  11662  trireciplem  11665  geosergap  11671  geolim2  11677  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratnnlemrate  11695  cvgratz  11697  cvgratgt0  11698  mertenslemi1  11700  clim2divap  11705  prodrbdclem  11736  fproddccvg  11737  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  zproddc  11744  fprodntrivap  11749  fprodssdc  11755  fprodm1  11763  fprod1p  11764  fprodp1  11765  fprodabs  11781  fprodeq0  11782  efgt1p2  11860  modm1div  11965  dvdsbnd  12123  uzwodc  12204  ncoprmgcdne1b  12257  isprm3  12286  prmind2  12288  nprm  12291  dvdsprm  12305  exprmfct  12306  isprm5lem  12309  isprm5  12310  phibndlem  12384  phibnd  12385  dfphi2  12388  hashdvds  12389  pclemdc  12457  pcaddlem  12508  pcmptdvds  12514  pcfac  12519  expnprm  12522  fngsum  13031  igsumvalx  13032  gsumval2  13040  gsumsplit1r  13041  gsumfzz  13127  plycoeid3  14993  relogbval  15187  relogbzcl  15188  nnlogbexp  15195  logblt  15198  logbgcd1irr  15203  lgsne0  15279  gausslemma2dlem4  15305  lgsquad2lem2  15323  2sqlem6  15361  2sqlem8a  15363  2sqlem8  15364  supfz  15715