Theorem eluzelz 9359

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9356	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 998	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  eluzelre  9360  uztrn  9366  uzneg  9368  uzssz  9369  uzss  9370  eluzp1l  9374  eluzaddi  9376  eluzsubi  9377  eluzadd  9378  eluzsub  9379  uzm1  9380  uzin  9382  uzind4  9410  uz2mulcl  9429  elfz5  9829  elfzel2  9835  elfzelz  9837  eluzfz2  9843  peano2fzr  9848  fzsplit2  9861  fzopth  9872  fzsuc  9880  elfzp1  9883  fzdifsuc  9892  uzsplit  9903  uzdisj  9904  fzm1  9911  fzneuz  9912  uznfz  9914  nn0disj  9946  elfzo3  9971  fzoss2  9980  fzouzsplit  9987  eluzgtdifelfzo  10005  fzosplitsnm1  10017  fzofzp1b  10036  elfzonelfzo  10038  fzosplitsn  10041  fzisfzounsn  10044  mulp1mod1  10169  m1modge3gt1  10175  frec2uzltd  10207  frecfzen2  10231  uzennn  10240  uzsinds  10246  seq3fveq2  10273  seq3feq2  10274  seq3shft2  10277  monoord  10280  monoord2  10281  ser3mono  10282  seq3split  10283  iseqf1olemjpcl  10299  iseqf1olemqpcl  10300  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1olemp  10306  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  seq3id  10312  seq3z  10315  fser0const  10320  leexp2a  10377  expnlbnd2  10448  hashfz  10599  hashfzo  10600  hashfzp1  10602  seq3coll  10617  seq3shft  10642  rexuz3  10794  r19.2uz  10797  cau4  10920  caubnd2  10921  clim  11082  climshft2  11107  climaddc1  11130  climmulc2  11132  climsubc1  11133  climsubc2  11134  clim2ser  11138  clim2ser2  11139  iserex  11140  climlec2  11142  climub  11145  climcau  11148  climcaucn  11152  serf0  11153  sumrbdclem  11178  fsum3cvg  11179  summodclem2a  11182  zsumdc  11185  fsum3  11188  fisumss  11193  fsum3cvg2  11195  fsum3ser  11198  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  fsumm1  11217  fzosump1  11218  fsum1p  11219  fsump1  11221  fsummulc2  11249  telfsumo  11267  fsumparts  11271  iserabs  11276  binomlem  11284  isumshft  11291  isumsplit  11292  isumrpcl  11295  divcnv  11298  trireciplem  11301  geosergap  11307  geolim2  11313  cvgratnnlemseq  11327  cvgratnnlemabsle  11328  cvgratnnlemsumlt  11329  cvgratnnlemrate  11331  cvgratz  11333  cvgratgt0  11334  mertenslemi1  11336  clim2divap  11341  prodrbdclem  11372  fproddccvg  11373  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  zproddc  11380  efgt1p2  11438  zsupcllemstep  11674  infssuzex  11678  dvdsbnd  11681  ncoprmgcdne1b  11806  isprm3  11835  prmind2  11837  nprm  11840  dvdsprm  11853  exprmfct  11854  phibndlem  11928  phibnd  11929  dfphi2  11932  hashdvds  11933  relogbval  13076  relogbzcl  13077  nnlogbexp  13084  logblt  13087  logbgcd1irr  13092  supfz  13428