Theorem eluzelz 9947

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9943	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1044	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380   ≤ cle 8367  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  eluzelre  9948  uztrn  9955  uzneg  9957  uzssz  9958  uzss  9959  eluzp1l  9963  eluzaddi  9965  eluzsubi  9966  eluzadd  9967  eluzsub  9968  uzm1  9969  uzin  9971  uzind4  10004  uz2mulcl  10024  elfz5  10437  elfzel2  10443  elfzelz  10445  eluzfz2  10453  peano2fzr  10458  fzsplit2  10472  fzopth  10484  fzsuc  10492  fzspl  10493  elfzp1  10496  fzdifsuc  10505  uzsplit  10516  uzdisj  10517  fzm1  10524  fzneuz  10525  uznfz  10527  nn0disj  10562  elfzo3  10588  fzoss2  10598  fzouzsplit  10605  fzoun  10607  eluzgtdifelfzo  10632  fzosplitsnm1  10644  fzofzp1b  10663  elfzonelfzo  10665  fzosplitsn  10668  fzisfzounsn  10672  zsupcllemstep  10679  infssuzex  10683  infssfzcldc  10686  infssfzledc  10687  suprzubdc  10688  fldiv4lem1div2uz2  10762  mulp1mod1  10823  m1modge3gt1  10829  frec2uzltd  10861  frecfzen2  10885  uzennn  10894  uzsinds  10902  seq3fveq2  10933  seq3feq2  10934  seqfveq2g  10935  seq3shft2  10939  seqshft2g  10940  monoord  10943  monoord2  10944  ser3mono  10945  seq3split  10946  seqsplitg  10947  iseqf1olemjpcl  10966  iseqf1olemqpcl  10967  seq3f1olemqsumk  10970  seq3f1olemp  10973  seq3f1oleml  10974  seq3f1o  10975  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  seqf1og  10979  seq3id  10983  seq3z  10986  fser0const  10993  leexp2a  11050  expnlbnd2  11124  hashfz  11284  hashfzo  11285  hashfzp1  11287  seq3coll  11316  swrdfv2  11457  pfxccatin12  11527  seq3shft  11625  rexuz3  11778  r19.2uz  11781  cau4  11905  caubnd2  11906  clim  12072  climshft2  12097  climaddc1  12120  climmulc2  12122  climsubc1  12123  climsubc2  12124  clim2ser  12128  clim2ser2  12129  iserex  12130  climlec2  12132  climub  12135  climcau  12138  climcaucn  12142  serf0  12143  sumrbdclem  12169  fsum3cvg  12170  summodclem2a  12173  zsumdc  12176  fsum3  12179  fisumss  12184  fsum3cvg2  12186  fsum3ser  12189  fsumcl2lem  12190  fsumadd  12198  fsumm1  12208  fzosump1  12209  fsum1p  12210  fsump1  12212  fsummulc2  12240  telfsumo  12258  fsumparts  12262  iserabs  12267  binomlem  12275  isumshft  12282  isumsplit  12283  isumrpcl  12286  divcnv  12289  trireciplem  12292  geosergap  12298  geolim2  12304  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratnnlemrate  12322  cvgratz  12324  cvgratgt0  12325  mertenslemi1  12327  clim2divap  12332  prodrbdclem  12363  fproddccvg  12364  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  zproddc  12371  fprodntrivap  12376  fprodssdc  12382  fprodm1  12390  fprod1p  12391  fprodp1  12392  fprodabs  12408  fprodeq0  12409  efgt1p2  12487  modm1div  12592  dvdsbnd  12758  uzwodc  12839  ncoprmgcdne1b  12892  isprm3  12921  prmind2  12923  nprm  12926  dvdsprm  12941  exprmfct  12942  isprm5lem  12945  isprm5  12946  phibndlem  13023  phibnd  13024  dfphi2  13027  hashdvds  13028  pclemdc  13096  pcaddlem  13147  pcmptdvds  13153  pcfac  13158  expnprm  13161  prmlem1  13251  prmlem2  13263  fngzsum  13767  gzsumvalx  13768  gzsumval2  13773  gzsumsplit1r  13774  gzsumshift  14239  plycoeid3  15983  logfac  16126  relogbval  16187  relogbzcl  16188  nnlogbexp  16195  logblt  16198  logbgcd1irr  16203  chtdif  16264  ppidif  16269  prmorcht  16282  chtqub  16296  bcmono  16304  bpos1lem  16309  bpos1  16310  lgsne0  16362  gausslemma2dlem4  16388  lgsquad2lem2  16406  2sqlem6  16444  2sqlem8a  16446  2sqlem8  16447  supfz  17328