Theorem eluzelz 9627

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9624	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1015	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  eluzelre  9628  uztrn  9635  uzneg  9637  uzssz  9638  uzss  9639  eluzp1l  9643  eluzaddi  9645  eluzsubi  9646  eluzadd  9647  eluzsub  9648  uzm1  9649  uzin  9651  uzind4  9679  uz2mulcl  9699  elfz5  10109  elfzel2  10115  elfzelz  10117  eluzfz2  10124  peano2fzr  10129  fzsplit2  10142  fzopth  10153  fzsuc  10161  elfzp1  10164  fzdifsuc  10173  uzsplit  10184  uzdisj  10185  fzm1  10192  fzneuz  10193  uznfz  10195  nn0disj  10230  elfzo3  10256  fzoss2  10265  fzouzsplit  10272  eluzgtdifelfzo  10290  fzosplitsnm1  10302  fzofzp1b  10321  elfzonelfzo  10323  fzosplitsn  10326  fzisfzounsn  10329  zsupcllemstep  10336  infssuzex  10340  suprzubdc  10343  fldiv4lem1div2uz2  10413  mulp1mod1  10474  m1modge3gt1  10480  frec2uzltd  10512  frecfzen2  10536  uzennn  10545  uzsinds  10553  seq3fveq2  10584  seq3feq2  10585  seqfveq2g  10586  seq3shft2  10590  seqshft2g  10591  monoord  10594  monoord2  10595  ser3mono  10596  seq3split  10597  seqsplitg  10598  iseqf1olemjpcl  10617  iseqf1olemqpcl  10618  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemp  10624  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  seqf1og  10630  seq3id  10634  seq3z  10637  fser0const  10644  leexp2a  10701  expnlbnd2  10774  hashfz  10930  hashfzo  10931  hashfzp1  10933  seq3coll  10951  seq3shft  11020  rexuz3  11172  r19.2uz  11175  cau4  11298  caubnd2  11299  clim  11463  climshft2  11488  climaddc1  11511  climmulc2  11513  climsubc1  11514  climsubc2  11515  clim2ser  11519  clim2ser2  11520  iserex  11521  climlec2  11523  climub  11526  climcau  11529  climcaucn  11533  serf0  11534  sumrbdclem  11559  fsum3cvg  11560  summodclem2a  11563  zsumdc  11566  fsum3  11569  fisumss  11574  fsum3cvg2  11576  fsum3ser  11579  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  fsumm1  11598  fzosump1  11599  fsum1p  11600  fsump1  11602  fsummulc2  11630  telfsumo  11648  fsumparts  11652  iserabs  11657  binomlem  11665  isumshft  11672  isumsplit  11673  isumrpcl  11676  divcnv  11679  trireciplem  11682  geosergap  11688  geolim2  11694  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratnnlemrate  11712  cvgratz  11714  cvgratgt0  11715  mertenslemi1  11717  clim2divap  11722  prodrbdclem  11753  fproddccvg  11754  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  zproddc  11761  fprodntrivap  11766  fprodssdc  11772  fprodm1  11780  fprod1p  11781  fprodp1  11782  fprodabs  11798  fprodeq0  11799  efgt1p2  11877  modm1div  11982  dvdsbnd  12148  uzwodc  12229  ncoprmgcdne1b  12282  isprm3  12311  prmind2  12313  nprm  12316  dvdsprm  12330  exprmfct  12331  isprm5lem  12334  isprm5  12335  phibndlem  12409  phibnd  12410  dfphi2  12413  hashdvds  12414  pclemdc  12482  pcaddlem  12533  pcmptdvds  12539  pcfac  12544  expnprm  12547  fngsum  13090  igsumvalx  13091  gsumval2  13099  gsumsplit1r  13100  gsumfzz  13197  plycoeid3  15077  relogbval  15271  relogbzcl  15272  nnlogbexp  15279  logblt  15282  logbgcd1irr  15287  lgsne0  15363  gausslemma2dlem4  15389  lgsquad2lem2  15407  2sqlem6  15445  2sqlem8a  15447  2sqlem8  15448  supfz  15802