Theorem eluzelz 9910

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9906	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1044	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372   ≤ cle 8351  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  eluzelre  9911  uztrn  9918  uzneg  9920  uzssz  9921  uzss  9922  eluzp1l  9926  eluzaddi  9928  eluzsubi  9929  eluzadd  9930  eluzsub  9931  uzm1  9932  uzin  9934  uzind4  9967  uz2mulcl  9987  elfz5  10399  elfzel2  10405  elfzelz  10407  eluzfz2  10415  peano2fzr  10420  fzsplit2  10433  fzopth  10445  fzsuc  10453  fzspl  10454  elfzp1  10457  fzdifsuc  10466  uzsplit  10477  uzdisj  10478  fzm1  10485  fzneuz  10486  uznfz  10488  nn0disj  10523  elfzo3  10549  fzoss2  10559  fzouzsplit  10566  fzoun  10568  eluzgtdifelfzo  10593  fzosplitsnm1  10605  fzofzp1b  10624  elfzonelfzo  10626  fzosplitsn  10629  fzisfzounsn  10633  zsupcllemstep  10640  infssuzex  10644  infssfzcldc  10647  infssfzledc  10648  suprzubdc  10649  fldiv4lem1div2uz2  10719  mulp1mod1  10780  m1modge3gt1  10786  frec2uzltd  10818  frecfzen2  10842  uzennn  10851  uzsinds  10859  seq3fveq2  10890  seq3feq2  10891  seqfveq2g  10892  seq3shft2  10896  seqshft2g  10897  monoord  10900  monoord2  10901  ser3mono  10902  seq3split  10903  seqsplitg  10904  iseqf1olemjpcl  10923  iseqf1olemqpcl  10924  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemp  10930  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  seqf1og  10936  seq3id  10940  seq3z  10943  fser0const  10950  leexp2a  11007  expnlbnd2  11081  hashfz  11240  hashfzo  11241  hashfzp1  11243  seq3coll  11272  swrdfv2  11413  pfxccatin12  11483  seq3shft  11581  rexuz3  11734  r19.2uz  11737  cau4  11860  caubnd2  11861  clim  12025  climshft2  12050  climaddc1  12073  climmulc2  12075  climsubc1  12076  climsubc2  12077  clim2ser  12081  clim2ser2  12082  iserex  12083  climlec2  12085  climub  12088  climcau  12091  climcaucn  12095  serf0  12096  sumrbdclem  12122  fsum3cvg  12123  summodclem2a  12126  zsumdc  12129  fsum3  12132  fisumss  12137  fsum3cvg2  12139  fsum3ser  12142  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  fsumm1  12161  fzosump1  12162  fsum1p  12163  fsump1  12165  fsummulc2  12193  telfsumo  12211  fsumparts  12215  iserabs  12220  binomlem  12228  isumshft  12235  isumsplit  12236  isumrpcl  12239  divcnv  12242  trireciplem  12245  geosergap  12251  geolim2  12257  cvgratnnlemseq  12271  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratnnlemrate  12275  cvgratz  12277  cvgratgt0  12278  mertenslemi1  12280  clim2divap  12285  prodrbdclem  12316  fproddccvg  12317  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  zproddc  12324  fprodntrivap  12329  fprodssdc  12335  fprodm1  12343  fprod1p  12344  fprodp1  12345  fprodabs  12361  fprodeq0  12362  efgt1p2  12440  modm1div  12545  dvdsbnd  12711  uzwodc  12792  ncoprmgcdne1b  12845  isprm3  12874  prmind2  12876  nprm  12879  dvdsprm  12893  exprmfct  12894  isprm5lem  12897  isprm5  12898  phibndlem  12972  phibnd  12973  dfphi2  12976  hashdvds  12977  pclemdc  13045  pcaddlem  13096  pcmptdvds  13102  pcfac  13107  expnprm  13110  fngzsum  13685  gzsumvalx  13686  gzsumval2  13691  gzsumsplit1r  13692  gzsumshift  14126  plycoeid3  15781  logfac  15918  relogbval  15976  relogbzcl  15977  nnlogbexp  15984  logblt  15987  logbgcd1irr  15992  lgsne0  16071  gausslemma2dlem4  16097  lgsquad2lem2  16115  2sqlem6  16153  2sqlem8a  16155  2sqlem8  16156  supfz  17026