ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzelz GIF version

Theorem eluzelz 9287
Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzelz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz
StepHypRef Expression
1 eluz2 9284 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
21simp2bi 980 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  cle 7765  cz 9008  cuz 9278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-neg 7900  df-z 9009  df-uz 9279
This theorem is referenced by:  eluzelre  9288  uztrn  9294  uzneg  9296  uzssz  9297  uzss  9298  eluzp1l  9302  eluzaddi  9304  eluzsubi  9305  eluzadd  9306  eluzsub  9307  uzm1  9308  uzin  9310  uzind4  9335  uz2mulcl  9354  elfz5  9749  elfzel2  9755  elfzelz  9757  eluzfz2  9763  peano2fzr  9768  fzsplit2  9781  fzopth  9792  fzsuc  9800  elfzp1  9803  fzdifsuc  9812  uzsplit  9823  uzdisj  9824  fzm1  9831  fzneuz  9832  uznfz  9834  nn0disj  9866  elfzo3  9891  fzoss2  9900  fzouzsplit  9907  eluzgtdifelfzo  9925  fzosplitsnm1  9937  fzofzp1b  9956  elfzonelfzo  9958  fzosplitsn  9961  fzisfzounsn  9964  mulp1mod1  10089  m1modge3gt1  10095  frec2uzltd  10127  frecfzen2  10151  uzennn  10160  uzsinds  10166  seq3fveq2  10193  seq3feq2  10194  seq3shft2  10197  monoord  10200  monoord2  10201  ser3mono  10202  seq3split  10203  iseqf1olemjpcl  10219  iseqf1olemqpcl  10220  seq3f1olemqsumk  10223  seq3f1olemp  10226  seq3f1oleml  10227  seq3f1o  10228  seq3id  10232  seq3z  10235  fser0const  10240  leexp2a  10297  expnlbnd2  10368  hashfz  10518  hashfzo  10519  hashfzp1  10521  seq3coll  10536  seq3shft  10561  rexuz3  10713  r19.2uz  10716  cau4  10839  caubnd2  10840  clim  11001  climshft2  11026  climaddc1  11049  climmulc2  11051  climsubc1  11052  climsubc2  11053  clim2ser  11057  clim2ser2  11058  iserex  11059  climlec2  11061  climub  11064  climcau  11067  climcaucn  11071  serf0  11072  sumrbdclem  11096  fsum3cvg  11097  summodclem2a  11101  zsumdc  11104  fsum3  11107  fisumss  11112  fsum3cvg2  11114  fsum3ser  11117  fsumcl2lem  11118  fsumadd  11126  fsumm1  11136  fzosump1  11137  fsum1p  11138  fsump1  11140  fsummulc2  11168  telfsumo  11186  fsumparts  11190  iserabs  11195  binomlem  11203  isumshft  11210  isumsplit  11211  isumrpcl  11214  divcnv  11217  trireciplem  11220  geosergap  11226  geolim2  11232  cvgratnnlemseq  11246  cvgratnnlemabsle  11247  cvgratnnlemsumlt  11248  cvgratnnlemrate  11250  cvgratz  11252  cvgratgt0  11253  mertenslemi1  11255  efgt1p2  11311  zsupcllemstep  11545  infssuzex  11549  dvdsbnd  11552  ncoprmgcdne1b  11677  isprm3  11706  prmind2  11708  nprm  11711  dvdsprm  11724  exprmfct  11725  phibndlem  11798  phibnd  11799  dfphi2  11802  hashdvds  11803  supfz  13071
  Copyright terms: Public domain W3C validator