Theorem eluzelz 9496

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1008	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  eluzelre  9497  uztrn  9503  uzneg  9505  uzssz  9506  uzss  9507  eluzp1l  9511  eluzaddi  9513  eluzsubi  9514  eluzadd  9515  eluzsub  9516  uzm1  9517  uzin  9519  uzind4  9547  uz2mulcl  9567  elfz5  9973  elfzel2  9979  elfzelz  9981  eluzfz2  9988  peano2fzr  9993  fzsplit2  10006  fzopth  10017  fzsuc  10025  elfzp1  10028  fzdifsuc  10037  uzsplit  10048  uzdisj  10049  fzm1  10056  fzneuz  10057  uznfz  10059  nn0disj  10094  elfzo3  10119  fzoss2  10128  fzouzsplit  10135  eluzgtdifelfzo  10153  fzosplitsnm1  10165  fzofzp1b  10184  elfzonelfzo  10186  fzosplitsn  10189  fzisfzounsn  10192  mulp1mod1  10321  m1modge3gt1  10327  frec2uzltd  10359  frecfzen2  10383  uzennn  10392  uzsinds  10398  seq3fveq2  10425  seq3feq2  10426  seq3shft2  10429  monoord  10432  monoord2  10433  ser3mono  10434  seq3split  10435  iseqf1olemjpcl  10451  iseqf1olemqpcl  10452  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemp  10458  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  seq3id  10464  seq3z  10467  fser0const  10472  leexp2a  10529  expnlbnd2  10601  hashfz  10756  hashfzo  10757  hashfzp1  10759  seq3coll  10777  seq3shft  10802  rexuz3  10954  r19.2uz  10957  cau4  11080  caubnd2  11081  clim  11244  climshft2  11269  climaddc1  11292  climmulc2  11294  climsubc1  11295  climsubc2  11296  clim2ser  11300  clim2ser2  11301  iserex  11302  climlec2  11304  climub  11307  climcau  11310  climcaucn  11314  serf0  11315  sumrbdclem  11340  fsum3cvg  11341  summodclem2a  11344  zsumdc  11347  fsum3  11350  fisumss  11355  fsum3cvg2  11357  fsum3ser  11360  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  fsumm1  11379  fzosump1  11380  fsum1p  11381  fsump1  11383  fsummulc2  11411  telfsumo  11429  fsumparts  11433  iserabs  11438  binomlem  11446  isumshft  11453  isumsplit  11454  isumrpcl  11457  divcnv  11460  trireciplem  11463  geosergap  11469  geolim2  11475  cvgratnnlemseq  11489  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemrate  11493  cvgratz  11495  cvgratgt0  11496  mertenslemi1  11498  clim2divap  11503  prodrbdclem  11534  fproddccvg  11535  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  zproddc  11542  fprodntrivap  11547  fprodssdc  11553  fprodm1  11561  fprod1p  11562  fprodp1  11563  fprodabs  11579  fprodeq0  11580  efgt1p2  11658  modm1div  11762  zsupcllemstep  11900  infssuzex  11904  suprzubdc  11907  dvdsbnd  11911  uzwodc  11992  ncoprmgcdne1b  12043  isprm3  12072  prmind2  12074  nprm  12077  dvdsprm  12091  exprmfct  12092  isprm5lem  12095  isprm5  12096  phibndlem  12170  phibnd  12171  dfphi2  12174  hashdvds  12175  pclemdc  12242  pcaddlem  12292  pcmptdvds  12297  pcfac  12302  expnprm  12305  relogbval  13663  relogbzcl  13664  nnlogbexp  13671  logblt  13674  logbgcd1irr  13679  lgsne0  13733  2sqlem6  13750  2sqlem8a  13752  2sqlem8  13753  supfz  14100