Theorem eluzelz 9656

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9653	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1015	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270   ≤ cle 8107  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-neg 8245  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  eluzelre  9657  uztrn  9664  uzneg  9666  uzssz  9667  uzss  9668  eluzp1l  9672  eluzaddi  9674  eluzsubi  9675  eluzadd  9676  eluzsub  9677  uzm1  9678  uzin  9680  uzind4  9708  uz2mulcl  9728  elfz5  10138  elfzel2  10144  elfzelz  10146  eluzfz2  10153  peano2fzr  10158  fzsplit2  10171  fzopth  10182  fzsuc  10190  elfzp1  10193  fzdifsuc  10202  uzsplit  10213  uzdisj  10214  fzm1  10221  fzneuz  10222  uznfz  10224  nn0disj  10259  elfzo3  10285  fzoss2  10294  fzouzsplit  10301  eluzgtdifelfzo  10324  fzosplitsnm1  10336  fzofzp1b  10355  elfzonelfzo  10357  fzosplitsn  10360  fzisfzounsn  10363  zsupcllemstep  10370  infssuzex  10374  suprzubdc  10377  fldiv4lem1div2uz2  10447  mulp1mod1  10508  m1modge3gt1  10514  frec2uzltd  10546  frecfzen2  10570  uzennn  10579  uzsinds  10587  seq3fveq2  10618  seq3feq2  10619  seqfveq2g  10620  seq3shft2  10624  seqshft2g  10625  monoord  10628  monoord2  10629  ser3mono  10630  seq3split  10631  seqsplitg  10632  iseqf1olemjpcl  10651  iseqf1olemqpcl  10652  seq3f1olemqsumk  10655  seq3f1olemp  10658  seq3f1oleml  10659  seq3f1o  10660  seqf1oglem1  10662  seqf1oglem2  10663  seqf1og  10664  seq3id  10668  seq3z  10671  fser0const  10678  leexp2a  10735  expnlbnd2  10808  hashfz  10964  hashfzo  10965  hashfzp1  10967  seq3coll  10985  seq3shft  11120  rexuz3  11272  r19.2uz  11275  cau4  11398  caubnd2  11399  clim  11563  climshft2  11588  climaddc1  11611  climmulc2  11613  climsubc1  11614  climsubc2  11615  clim2ser  11619  clim2ser2  11620  iserex  11621  climlec2  11623  climub  11626  climcau  11629  climcaucn  11633  serf0  11634  sumrbdclem  11659  fsum3cvg  11660  summodclem2a  11663  zsumdc  11666  fsum3  11669  fisumss  11674  fsum3cvg2  11676  fsum3ser  11679  fsumcl2lem  11680  fsumadd  11688  fsumm1  11698  fzosump1  11699  fsum1p  11700  fsump1  11702  fsummulc2  11730  telfsumo  11748  fsumparts  11752  iserabs  11757  binomlem  11765  isumshft  11772  isumsplit  11773  isumrpcl  11776  divcnv  11779  trireciplem  11782  geosergap  11788  geolim2  11794  cvgratnnlemseq  11808  cvgratnnlemabsle  11809  cvgratnnlemsumlt  11810  cvgratnnlemrate  11812  cvgratz  11814  cvgratgt0  11815  mertenslemi1  11817  clim2divap  11822  prodrbdclem  11853  fproddccvg  11854  prodmodclem3  11857  prodmodclem2a  11858  zproddc  11861  fprodntrivap  11866  fprodssdc  11872  fprodm1  11880  fprod1p  11881  fprodp1  11882  fprodabs  11898  fprodeq0  11899  efgt1p2  11977  modm1div  12082  dvdsbnd  12248  uzwodc  12329  ncoprmgcdne1b  12382  isprm3  12411  prmind2  12413  nprm  12416  dvdsprm  12430  exprmfct  12431  isprm5lem  12434  isprm5  12435  phibndlem  12509  phibnd  12510  dfphi2  12513  hashdvds  12514  pclemdc  12582  pcaddlem  12633  pcmptdvds  12639  pcfac  12644  expnprm  12647  fngsum  13191  igsumvalx  13192  gsumval2  13200  gsumsplit1r  13201  gsumfzz  13298  plycoeid3  15200  relogbval  15394  relogbzcl  15395  nnlogbexp  15402  logblt  15405  logbgcd1irr  15410  lgsne0  15486  gausslemma2dlem4  15512  lgsquad2lem2  15530  2sqlem6  15568  2sqlem8a  15570  2sqlem8  15571  supfz  15972