Theorem eluzelz 9629

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9626	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1015	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8081  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  eluzelre  9630  uztrn  9637  uzneg  9639  uzssz  9640  uzss  9641  eluzp1l  9645  eluzaddi  9647  eluzsubi  9648  eluzadd  9649  eluzsub  9650  uzm1  9651  uzin  9653  uzind4  9681  uz2mulcl  9701  elfz5  10111  elfzel2  10117  elfzelz  10119  eluzfz2  10126  peano2fzr  10131  fzsplit2  10144  fzopth  10155  fzsuc  10163  elfzp1  10166  fzdifsuc  10175  uzsplit  10186  uzdisj  10187  fzm1  10194  fzneuz  10195  uznfz  10197  nn0disj  10232  elfzo3  10258  fzoss2  10267  fzouzsplit  10274  eluzgtdifelfzo  10292  fzosplitsnm1  10304  fzofzp1b  10323  elfzonelfzo  10325  fzosplitsn  10328  fzisfzounsn  10331  zsupcllemstep  10338  infssuzex  10342  suprzubdc  10345  fldiv4lem1div2uz2  10415  mulp1mod1  10476  m1modge3gt1  10482  frec2uzltd  10514  frecfzen2  10538  uzennn  10547  uzsinds  10555  seq3fveq2  10586  seq3feq2  10587  seqfveq2g  10588  seq3shft2  10592  seqshft2g  10593  monoord  10596  monoord2  10597  ser3mono  10598  seq3split  10599  seqsplitg  10600  iseqf1olemjpcl  10619  iseqf1olemqpcl  10620  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1olemp  10626  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  seqf1og  10632  seq3id  10636  seq3z  10639  fser0const  10646  leexp2a  10703  expnlbnd2  10776  hashfz  10932  hashfzo  10933  hashfzp1  10935  seq3coll  10953  seq3shft  11022  rexuz3  11174  r19.2uz  11177  cau4  11300  caubnd2  11301  clim  11465  climshft2  11490  climaddc1  11513  climmulc2  11515  climsubc1  11516  climsubc2  11517  clim2ser  11521  clim2ser2  11522  iserex  11523  climlec2  11525  climub  11528  climcau  11531  climcaucn  11535  serf0  11536  sumrbdclem  11561  fsum3cvg  11562  summodclem2a  11565  zsumdc  11568  fsum3  11571  fisumss  11576  fsum3cvg2  11578  fsum3ser  11581  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  fsumm1  11600  fzosump1  11601  fsum1p  11602  fsump1  11604  fsummulc2  11632  telfsumo  11650  fsumparts  11654  iserabs  11659  binomlem  11667  isumshft  11674  isumsplit  11675  isumrpcl  11678  divcnv  11681  trireciplem  11684  geosergap  11690  geolim2  11696  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratnnlemrate  11714  cvgratz  11716  cvgratgt0  11717  mertenslemi1  11719  clim2divap  11724  prodrbdclem  11755  fproddccvg  11756  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  zproddc  11763  fprodntrivap  11768  fprodssdc  11774  fprodm1  11782  fprod1p  11783  fprodp1  11784  fprodabs  11800  fprodeq0  11801  efgt1p2  11879  modm1div  11984  dvdsbnd  12150  uzwodc  12231  ncoprmgcdne1b  12284  isprm3  12313  prmind2  12315  nprm  12318  dvdsprm  12332  exprmfct  12333  isprm5lem  12336  isprm5  12337  phibndlem  12411  phibnd  12412  dfphi2  12415  hashdvds  12416  pclemdc  12484  pcaddlem  12535  pcmptdvds  12541  pcfac  12546  expnprm  12549  fngsum  13092  igsumvalx  13093  gsumval2  13101  gsumsplit1r  13102  gsumfzz  13199  plycoeid3  15101  relogbval  15295  relogbzcl  15296  nnlogbexp  15303  logblt  15306  logbgcd1irr  15311  lgsne0  15387  gausslemma2dlem4  15413  lgsquad2lem2  15431  2sqlem6  15469  2sqlem8a  15471  2sqlem8  15472  supfz  15828