Theorem eluzelz 9863

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9859	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1040	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352   ≤ cle 8309  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  eluzelre  9864  uztrn  9871  uzneg  9873  uzssz  9874  uzss  9875  eluzp1l  9879  eluzaddi  9881  eluzsubi  9882  eluzadd  9883  eluzsub  9884  uzm1  9885  uzin  9887  uzind4  9920  uz2mulcl  9940  elfz5  10351  elfzel2  10357  elfzelz  10359  eluzfz2  10366  peano2fzr  10371  fzsplit2  10384  fzopth  10395  fzsuc  10403  elfzp1  10406  fzdifsuc  10415  uzsplit  10426  uzdisj  10427  fzm1  10434  fzneuz  10435  uznfz  10437  nn0disj  10472  elfzo3  10498  fzoss2  10508  fzouzsplit  10515  fzoun  10517  eluzgtdifelfzo  10542  fzosplitsnm1  10554  fzofzp1b  10573  elfzonelfzo  10575  fzosplitsn  10578  fzisfzounsn  10582  zsupcllemstep  10589  infssuzex  10593  suprzubdc  10596  fldiv4lem1div2uz2  10666  mulp1mod1  10727  m1modge3gt1  10733  frec2uzltd  10765  frecfzen2  10789  uzennn  10798  uzsinds  10806  seq3fveq2  10837  seq3feq2  10838  seqfveq2g  10839  seq3shft2  10843  seqshft2g  10844  monoord  10847  monoord2  10848  ser3mono  10849  seq3split  10850  seqsplitg  10851  iseqf1olemjpcl  10870  iseqf1olemqpcl  10871  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1olemp  10877  seq3f1oleml  10878  seq3f1o  10879  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  seqf1og  10883  seq3id  10887  seq3z  10890  fser0const  10897  leexp2a  10954  expnlbnd2  11027  hashfz  11186  hashfzo  11187  hashfzp1  11189  seq3coll  11214  swrdfv2  11355  pfxccatin12  11425  seq3shft  11523  rexuz3  11675  r19.2uz  11678  cau4  11801  caubnd2  11802  clim  11966  climshft2  11991  climaddc1  12014  climmulc2  12016  climsubc1  12017  climsubc2  12018  clim2ser  12022  clim2ser2  12023  iserex  12024  climlec2  12026  climub  12029  climcau  12032  climcaucn  12036  serf0  12037  sumrbdclem  12063  fsum3cvg  12064  summodclem2a  12067  zsumdc  12070  fsum3  12073  fisumss  12078  fsum3cvg2  12080  fsum3ser  12083  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  fsumm1  12102  fzosump1  12103  fsum1p  12104  fsump1  12106  fsummulc2  12134  telfsumo  12152  fsumparts  12156  iserabs  12161  binomlem  12169  isumshft  12176  isumsplit  12177  isumrpcl  12180  divcnv  12183  trireciplem  12186  geosergap  12192  geolim2  12198  cvgratnnlemseq  12212  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratnnlemrate  12216  cvgratz  12218  cvgratgt0  12219  mertenslemi1  12221  clim2divap  12226  prodrbdclem  12257  fproddccvg  12258  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  zproddc  12265  fprodntrivap  12270  fprodssdc  12276  fprodm1  12284  fprod1p  12285  fprodp1  12286  fprodabs  12302  fprodeq0  12303  efgt1p2  12381  modm1div  12486  dvdsbnd  12652  uzwodc  12733  ncoprmgcdne1b  12786  isprm3  12815  prmind2  12817  nprm  12820  dvdsprm  12834  exprmfct  12835  isprm5lem  12838  isprm5  12839  phibndlem  12913  phibnd  12914  dfphi2  12917  hashdvds  12918  pclemdc  12986  pcaddlem  13037  pcmptdvds  13043  pcfac  13048  expnprm  13051  fngsum  13601  igsumvalx  13602  gsumval2  13610  gsumsplit1r  13611  gsumfzz  13708  plycoeid3  15622  relogbval  15816  relogbzcl  15817  nnlogbexp  15824  logblt  15827  logbgcd1irr  15832  lgsne0  15911  gausslemma2dlem4  15937  lgsquad2lem2  15955  2sqlem6  15993  2sqlem8a  15995  2sqlem8  15996  supfz  16857  gsumgfsumlem  16865