Theorem eluzelz 9471

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9468	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 1003	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187   ≤ cle 7930  ℤcz 9187  ℤ_≥cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-ov 5844  df-neg 8068  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  eluzelre  9472  uztrn  9478  uzneg  9480  uzssz  9481  uzss  9482  eluzp1l  9486  eluzaddi  9488  eluzsubi  9489  eluzadd  9490  eluzsub  9491  uzm1  9492  uzin  9494  uzind4  9522  uz2mulcl  9542  elfz5  9948  elfzel2  9954  elfzelz  9956  eluzfz2  9963  peano2fzr  9968  fzsplit2  9981  fzopth  9992  fzsuc  10000  elfzp1  10003  fzdifsuc  10012  uzsplit  10023  uzdisj  10024  fzm1  10031  fzneuz  10032  uznfz  10034  nn0disj  10069  elfzo3  10094  fzoss2  10103  fzouzsplit  10110  eluzgtdifelfzo  10128  fzosplitsnm1  10140  fzofzp1b  10159  elfzonelfzo  10161  fzosplitsn  10164  fzisfzounsn  10167  mulp1mod1  10296  m1modge3gt1  10302  frec2uzltd  10334  frecfzen2  10358  uzennn  10367  uzsinds  10373  seq3fveq2  10400  seq3feq2  10401  seq3shft2  10404  monoord  10407  monoord2  10408  ser3mono  10409  seq3split  10410  iseqf1olemjpcl  10426  iseqf1olemqpcl  10427  seq3f1olemqsumk  10430  seq3f1olemp  10433  seq3f1oleml  10434  seq3f1o  10435  seq3id  10439  seq3z  10442  fser0const  10447  leexp2a  10504  expnlbnd2  10576  hashfz  10730  hashfzo  10731  hashfzp1  10733  seq3coll  10751  seq3shft  10776  rexuz3  10928  r19.2uz  10931  cau4  11054  caubnd2  11055  clim  11218  climshft2  11243  climaddc1  11266  climmulc2  11268  climsubc1  11269  climsubc2  11270  clim2ser  11274  clim2ser2  11275  iserex  11276  climlec2  11278  climub  11281  climcau  11284  climcaucn  11288  serf0  11289  sumrbdclem  11314  fsum3cvg  11315  summodclem2a  11318  zsumdc  11321  fsum3  11324  fisumss  11329  fsum3cvg2  11331  fsum3ser  11334  fsumcl2lem  11335  fsumadd  11343  fsumm1  11353  fzosump1  11354  fsum1p  11355  fsump1  11357  fsummulc2  11385  telfsumo  11403  fsumparts  11407  iserabs  11412  binomlem  11420  isumshft  11427  isumsplit  11428  isumrpcl  11431  divcnv  11434  trireciplem  11437  geosergap  11443  geolim2  11449  cvgratnnlemseq  11463  cvgratnnlemabsle  11464  cvgratnnlemsumlt  11465  cvgratnnlemrate  11467  cvgratz  11469  cvgratgt0  11470  mertenslemi1  11472  clim2divap  11477  prodrbdclem  11508  fproddccvg  11509  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  zproddc  11516  fprodntrivap  11521  fprodssdc  11527  fprodm1  11535  fprod1p  11536  fprodp1  11537  fprodabs  11553  fprodeq0  11554  efgt1p2  11632  modm1div  11736  zsupcllemstep  11874  infssuzex  11878  suprzubdc  11881  dvdsbnd  11885  uzwodc  11966  ncoprmgcdne1b  12017  isprm3  12046  prmind2  12048  nprm  12051  dvdsprm  12065  exprmfct  12066  isprm5lem  12069  isprm5  12070  phibndlem  12144  phibnd  12145  dfphi2  12148  hashdvds  12149  pclemdc  12216  pcaddlem  12266  pcmptdvds  12271  pcfac  12276  expnprm  12279  relogbval  13469  relogbzcl  13470  nnlogbexp  13477  logblt  13480  logbgcd1irr  13485  lgsne0  13539  2sqlem6  13556  2sqlem8a  13558  2sqlem8  13559  supfz  13907