Theorem eluz2nn 9981

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9679	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 9524	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 9945	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 9973	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  1c1 8186   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  eluz3nn  9982  eluz4nn  9984  eluzge2nn0  9985  eluz2n0  9986  elnn1uz2  10022  zgt1rpn0n1  10112  modm1div  12591  isprm3  12920  isprm4  12921  prmind2  12922  nprm  12925  exprmfct  12941  prmdvdsfz  12942  isprm5lem  12944  isprm6  12950  pwbdvds  12969  pwbdvdseu  12971  nnmaxpwlemxy  12972  nnmaxpwlemnfac  12975  nnmaxpwlemparts  12976  nnmaxpw  12977  phibndlem  13022  phibnd  13023  dfphi2  13026  pclemub  13094  pcprendvds2  13098  pcpre1  13099  dvdsprmpweqnn  13143  expnprm  13160  4sqlem15  13212  4sqlem16  13213  infpn2  13404  logfac  16143  logbrec  16213  logbgcd1irr  16220  logbgcd1irraplemexp  16221  logbgcd1irraplemap  16222  mersenne  16314  bposlem3  16330  lgsquad2lem2  16423  2sqlem6  16461