Theorem eluz2nn 9976

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9675	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 9518	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 9940	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 9968	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1c1 8181   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  2c2 9358  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  eluz3nn  9977  eluz4nn  9979  eluzge2nn0  9980  eluz2n0  9981  elnn1uz2  10017  zgt1rpn0n1  10107  modm1div  12586  isprm3  12915  isprm4  12916  prmind2  12917  nprm  12920  exprmfct  12936  prmdvdsfz  12937  isprm5lem  12939  isprm6  12945  pwbdvds  12964  pwbdvdseu  12966  nnmaxpwlemxy  12967  nnmaxpwlemnfac  12970  nnmaxpwlemparts  12971  nnmaxpw  12972  phibndlem  13017  phibnd  13018  dfphi2  13021  pclemub  13089  pcprendvds2  13093  pcpre1  13094  dvdsprmpweqnn  13138  expnprm  13155  4sqlem15  13207  4sqlem16  13208  infpn2  13399  logfac  16090  logbrec  16157  logbgcd1irr  16164  logbgcd1irraplemexp  16165  logbgcd1irraplemap  16166  mersenne  16258  bposlem3  16274  lgsquad2lem2  16367  2sqlem6  16405