Theorem eluz2nn 9982

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9681	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 9524	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 9946	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 9974	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  1c1 8186   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  eluz3nn  9983  eluz4nn  9985  eluzge2nn0  9986  eluz2n0  9987  elnn1uz2  10023  zgt1rpn0n1  10113  modm1div  12592  isprm3  12921  isprm4  12922  prmind2  12923  nprm  12926  exprmfct  12942  prmdvdsfz  12943  isprm5lem  12945  isprm6  12951  pwbdvds  12970  pwbdvdseu  12972  nnmaxpwlemxy  12973  nnmaxpwlemnfac  12976  nnmaxpwlemparts  12977  nnmaxpw  12978  phibndlem  13023  phibnd  13024  dfphi2  13027  pclemub  13095  pcprendvds2  13099  pcpre1  13100  dvdsprmpweqnn  13144  expnprm  13161  4sqlem15  13213  4sqlem16  13214  infpn2  13405  logfac  16126  logbrec  16196  logbgcd1irr  16203  logbgcd1irraplemexp  16204  logbgcd1irraplemap  16205  mersenne  16297  bposlem3  16313  lgsquad2lem2  16406  2sqlem6  16444