Theorem eluz2nn 9897

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9602	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 9445	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 9861	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 9889	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2326	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  1c1 8127   ≤ cle 8308  ℕcn 9236  2c2 9287  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  eluz3nn  9898  eluz4nn  9900  eluzge2nn0  9901  eluz2n0  9902  elnn1uz2  9938  zgt1rpn0n1  10027  modm1div  12482  isprm3  12811  isprm4  12812  prmind2  12813  nprm  12816  exprmfct  12831  prmdvdsfz  12832  isprm5lem  12834  isprm6  12840  phibndlem  12909  phibnd  12910  dfphi2  12913  pclemub  12981  pcprendvds2  12985  pcpre1  12986  dvdsprmpweqnn  13030  expnprm  13047  4sqlem15  13099  4sqlem16  13100  infpn2  13199  logbrec  15817  logbgcd1irr  15824  logbgcd1irraplemexp  15825  logbgcd1irraplemap  15826  mersenne  15857  lgsquad2lem2  15947  2sqlem6  15985