Theorem cnmet 15002

Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8049	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		absf 11421	. . 3 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
3		subf 8274	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4		fco 5441	. . 3 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
6		subcl 8271	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
7	6	abs00ad 11376	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
8		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 15001	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
10	9	eqcomd 2211	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
11	10	eqeq1d 2214	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0))
12		subeq0 8298	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	7, 11, 12	3bitr3d 218	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		abs3dif 11416	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
15		abssub 11412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
16	15	oveq1d 5959	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
17	16	3adant2 1019	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
18	14, 17	breqtrd 4070	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
19	9	3adant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
20	8	cnmetdval 15001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
21	20	3adant3 1020	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
22	8	cnmetdval 15001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
23	22	3adant2 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
24	21, 23	oveq12d 5962	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
25	24	3coml 1213	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
26	18, 19, 25	3brtr4d 4076	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) ≤ ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)))
27	1, 5, 13, 26	ismeti 14818	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   × cxp 4673   ∘ ccom 4679  ⟶wf 5267  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  ℝcr 7924  0cc0 7925   + caddc 7928   ≤ cle 8108   − cmin 8243  abscabs 11308  Metcmet 14299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-met 14307

This theorem is referenced by:  cnxmet  15003  cnfldms  15008  remet  15020