Theorem istpsi 15123

Description: Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istpsi.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
istpsi.j	⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
istpsi.1	⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
istpsi.2	⊢ 𝐽 ∈ Top

Assertion

Ref	Expression
istpsi	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem istpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istpsi.2	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		istpsi.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
3		istpsi.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
4	3	eqcomi 2242	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
5		istpsi.j	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
6	5	eqcomi 2242	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
7	4, 6	istps2 15117	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
8	1, 2, 7	mpbir2an 955	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3933  ‘cfv 5375  Basecbs 13335  TopOpenctopn 13577  Topctop 15081  TopSpctps 15114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-tset 13433  df-rest 13578  df-topn 13579  df-top 15082  df-topon 15095  df-topsp 15115

This theorem is referenced by: (None)