ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  istpsi GIF version

Theorem istpsi 12112
Description: Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
istpsi.b (Base‘𝐾) = 𝐴
istpsi.j (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
istpsi.1 𝐴 = 𝐽
istpsi.2 𝐽 ∈ Top
Assertion
Ref Expression
istpsi 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem istpsi
StepHypRef Expression
1 istpsi.2 . 2 𝐽 ∈ Top
2 istpsi.1 . 2 𝐴 = 𝐽
3 istpsi.b . . . 4 (Base‘𝐾) = 𝐴
43eqcomi 2119 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐾)
5 istpsi.j . . . 4 (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
65eqcomi 2119 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
74, 6istps2 12106 . 2 (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = 𝐽))
81, 2, 7mpbir2an 909 1 𝐾 ∈ TopSp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1314  wcel 1463   cuni 3704  cfv 5091  Basecbs 11865  TopOpenctopn 12027  Topctop 12070  TopSpctps 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1re 7678  ax-addrcl 7681
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-5 8742  df-6 8743  df-7 8744  df-8 8745  df-9 8746  df-ndx 11868  df-slot 11869  df-base 11871  df-tset 11946  df-rest 12028  df-topn 12029  df-top 12071  df-topon 12084  df-topsp 12104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator