ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  istps2 GIF version

Theorem istps2 12473
Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
istps.a 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
istps2 (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = 𝐽))

Proof of Theorem istps2
StepHypRef Expression
1 istps.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝐾)
2 istps.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
31, 2istps 12472 . 2 (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
4 istopon 12453 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = 𝐽))
53, 4bitri 183 1 (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = 𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128   cuni 3773  cfv 5171  Basecbs 12232  TopOpenctopn 12394  Topctop 12437  TopOnctopon 12450  TopSpctps 12470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1re 7827  ax-addrcl 7830
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-5 8896  df-6 8897  df-7 8898  df-8 8899  df-9 8900  df-ndx 12235  df-slot 12236  df-base 12238  df-tset 12313  df-rest 12395  df-topn 12396  df-top 12438  df-topon 12451  df-topsp 12471
This theorem is referenced by:  tpsuni  12474  tpstop  12475  istpsi  12479
  Copyright terms: Public domain W3C validator