Theorem istps2 13804

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
istps2	⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))

Proof of Theorem istps2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		istps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps 13803	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
4		istopon 13784	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
5	3, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∪ cuni 3821  ‘cfv 5228  Basecbs 12475  TopOpenctopn 12706  Topctop 13768  TopOnctopon 13781  TopSpctps 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-9 8998  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-tset 12569  df-rest 12707  df-topn 12708  df-top 13769  df-topon 13782  df-topsp 13802

This theorem is referenced by:  tpsuni  13805  tpstop  13806  istpsi  13810