Theorem lspuni0 14230

Description: Union of the span of the empty set. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspuni0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ (𝑁‘∅) = 0 )

Proof of Theorem lspuni0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lspsn0.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3	1, 2	lsp0 14229	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
4	3	unieqd 3863	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ (𝑁‘∅) = ∪ { 0 })
5		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	lmod0vcl 14123	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
7		unisng 3869	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∪ { 0 } = 0 )
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ { 0 } = 0 )
9	4, 8	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ (𝑁‘∅) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∅c0 3461  {csn 3634  ∪ cuni 3852  ‘cfv 5276  Basecbs 12876  0_gc0g 13132  LModclmod 14093  LSpanclspn 14192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193

This theorem is referenced by: (None)