Theorem lspuni0 14353

Description: Union of the span of the empty set. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspuni0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ (𝑁‘∅) = 0 )

Proof of Theorem lspuni0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lspsn0.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3	1, 2	lsp0 14352	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
4	3	unieqd 3878	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ (𝑁‘∅) = ∪ { 0 })
5		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	lmod0vcl 14246	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
7		unisng 3884	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∪ { 0 } = 0 )
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ { 0 } = 0 )
9	4, 8	eqtrd 2242	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ (𝑁‘∅) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∅c0 3471  {csn 3646  ∪ cuni 3867  ‘cfv 5294  Basecbs 12998  0_gc0g 13255  LModclmod 14216  LSpanclspn 14315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-lmod 14218  df-lssm 14282  df-lsp 14316

This theorem is referenced by: (None)