Theorem lsssn0 14004

Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lss0cl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lss0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 13951	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	snssd 3768	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12		snmg 3741	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∃𝑗 𝑗 ∈ { 0 })
13	10, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑗 𝑗 ∈ { 0 })
14		simpr2 1006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
15		elsni 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
17	16	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
18		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	18, 19, 20, 9	lmodvs0 13956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
22	21	3ad2antr1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
23	17, 22	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = 0 )
24		simpr3 1007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
25		elsni 3641	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
27	23, 26	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ( 0 (+g‘𝑊) 0 ))
28		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
29	8, 28, 9	lmod0vlid 13952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
30	10, 29	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
31	30	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
32	27, 31	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
33		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑥 ∈ V)
35		vscaslid 12867	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
36	35	slotex 12732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
37		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
38	37	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
39		ovexg 5959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
40	34, 36, 38, 39	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
41		plusgslid 12817	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
42	41	slotex 12732	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) ∈ V)
43		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
44	43	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
45		ovexg 5959	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V ∧ (+g‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
47		elsng 3638	. . . . 5 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 ))
48	46, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 ))
49	48	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 ))
50	32, 49	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
51		id 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ LMod)
52	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 50, 51	islssmd 13993	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  +_gcplusg 12782  Scalarcsca 12785   ·_𝑠 cvsca 12786  0_gc0g 12960  LModclmod 13921  LSubSpclss 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-mgp 13555  df-ring 13632  df-lmod 13923  df-lssm 13987

This theorem is referenced by:  lspsn0  14056  lsp0  14057  lidl0  14123