ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lsssn0 GIF version

Theorem lsssn0 13869
Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0g𝑊)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssn0 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2194 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2194 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2194 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2194 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2194 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lss0cl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 9 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 eqid 2193 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9 lss0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
108, 9lmod0vcl 13816 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1110snssd 3764 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12 snmg 3737 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∃𝑗 𝑗 ∈ { 0 })
1310, 12syl 14 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑗 𝑗 ∈ { 0 })
14 simpr2 1006 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
15 elsni 3637 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
1716oveq2d 5935 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ))
18 eqid 2193 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
19 eqid 2193 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
20 eqid 2193 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2118, 19, 20, 9lmodvs0 13821 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
22213ad2antr1 1164 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
2317, 22eqtrd 2226 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = 0 )
24 simpr3 1007 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
25 elsni 3637 . . . . . 6 (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
2624, 25syl 14 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
2723, 26oveq12d 5937 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ( 0 (+g𝑊) 0 ))
28 eqid 2193 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
298, 28, 9lmod0vlid 13817 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3010, 29mpdan 421 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3130adantr 276 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3227, 31eqtrd 2226 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
33 vex 2763 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3433a1i 9 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑥 ∈ V)
35 vscaslid 12783 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
3635slotex 12648 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) ∈ V)
37 vex 2763 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
3837a1i 9 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
39 ovexg 5953 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ ( ·𝑠𝑊) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ V)
4034, 36, 38, 39syl3anc 1249 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ V)
41 plusgslid 12733 . . . . . . 7 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4241slotex 12648 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) ∈ V)
43 vex 2763 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4443a1i 9 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
45 ovexg 5953 . . . . . 6 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ V ∧ (+g𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V)
4640, 42, 44, 45syl3anc 1249 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V)
47 elsng 3634 . . . . 5 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 ))
4846, 47syl 14 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 ))
4948adantr 276 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 ))
5032, 49mpbird 167 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
51 id 19 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ LMod)
521, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 50, 51islssmd 13858 1 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3619  cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +gcplusg 12698  Scalarcsca 12701   ·𝑠 cvsca 12702  0gc0g 12870  LModclmod 13786  LSubSpclss 13851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-mgp 13420  df-ring 13497  df-lmod 13788  df-lssm 13852
This theorem is referenced by:  lspsn0  13921  lsp0  13922  lidl0  13988
  Copyright terms: Public domain W3C validator